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Prépa HEC 1 F. Laroche Problèmes intégration http://laroche.lycee.free.fr MPSI/

Prépa HEC 1 F. Laroche Problèmes intégration http://laroche.lycee.free.fr MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1 1-1 : Intégrale immédiate 1 1-2 : Somme ou différence de fonctions 2 1-3 : Composée de fonction 2 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 2 1-5 : Par substitution (changement de variable) 3 1-6 : Réductions à des formes particulières 6 1-7 : Intégration par parties 7 1-8 : Décomposition en série 8 2. Intégration numérique 8 2-1 : Méthode des rectangles 8 2-2 : Méthode des trapèzes 9 2-3 : Méthode de Simpson 9 3. Diverses questions 9 3-1 : Introduction à la loi normale 9 3-2 : Extension de la notion d'intégrale. 10 3-3 : Suites définies par une intégrale. 10 3-4 : Comparaison série et intégrale 11 3-5 : Sommes de Riemann 12 4. Ecole Supérieure de commerce de Lyon 13 4-1 : escl 88 13 4-2 : escl 89 14 4-3 : escl 90 14 4-4 : escl 91 14 4-5 : escl 92 15 4-6 : escl 93 15 4-7 : escl 94 15 4-8 : escl 95 16 4-9 : escl 96 16 4-10 : escl 98 16 4-11 : escl 98 bis (sujet de secours) 17 4-12 : escl 2000 17 4-13 : escl 2001, extrait 18 4-14 : escl 2002 18 4-15 : escl 2004, extrait 19 5. Annales E.S.C. 19 5-1 : esc 97 19 5-2 : esc 98 20 5-3 : esc 2001, extrait 20 5-4 : esc 2002 20 5-5 : esc 2004 21 6. Annales EDHEC 22 6-1 : edhec 96, exercice 1 22 6-2 : edhec 96 22 6-3 : edhec 98, extrait du problème 22 6-4 : edhec 2002 23 6-5 : edhec 2003 23 6-6 : edhec 2004 23 7. Annales ECRICOME 24 7-1 : ecricome 91 24 7-2 : Ecricome 93 24 7-3 : D'après ecricome OG 93 25 7-4 : ecricome 98 (extrait) 25 7-5 : ecricome 99 (extrait) 26 7-6 : ecricome 2002 26 7-7 : ecricome 2004 27 8. Annales ISC-ESLSCA 28 8-1 : eslsca 93 28 8-2 : eslsca 95 28 8-3 : eslsca 96 29 8-4 : eslsca 98 29 8-5 : eslsca 99 29 1. Méthodes d’intégration Nous reprenons les principales méthodes classiques d’intégration. Chaque cas est illustré par un ou plusieurs exemples. Certains exemples sont volontairement assez compliqués, dans le sens qu’ils font intervenir plusieurs méthodes. En effet, il est important de comprendre que toutes ces méthodes forment un ensemble, et qu’il faut savoir utiliser toutes les armes disponibles. Notons enfin que souvent plusieurs méthodes sont possibles et qu’il n’y a pas de recette magique qui fonctionne à tous les coups. On doit donc simplement s’en servir comme outils et aide-mémoire. 1-1 : Intégrale immédiate Il s’agit de l’application simple et immédiate des formules que l’on peut trouver dans n’importe quel formulaire. Exemple 1 : 1 1 m m x x dx C m      Exemple 2 : cos sin x dx x C    Exemple 3 : x x e dx e C    . Prépa HEC 2 F. Laroche Problèmes intégration http://laroche.lycee.free.fr 1-2 : Somme ou différence de fonctions Soit à intégrer la fraction rationnelle : f(x)/g(x) où f(x) est un polynôme de degré m et g(x) un polynôme de degré n avec m > n, on effectue la division euclidienne de f(x) par g(x). Puis on intègre. Exemple 4 : 3 3 2 2 2 1 2 3 3 2ln 1 1 1 3 2 x x x x dx x x dx x x C x x                     . Exemple 5 :   5 5 4 3 2 4 3 2 1 1 ln 1 1 1 5 4 3 2 x x x x x dx x x x x dx x x C x x                      1-3 : Composée de fonction Si on peut arriver à identifier un facteur comme étant la dérivée de l’autre, la solution est presque immédiate :        ' ' h g x g x dx h g x C    . Exemple 6 :      3 2 3 2 1 2 1 1 4 x x x x x dx C       car         3 4 3 ' 2 1 1 ' 4 g x x g x x x x h x x h x             . On pouvait également procéder comme suit :         3 2 3 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 4 x x x x x dx x x d x x C           . Exemple 7 :   ln 1 1 x x x e dx e C e      car de la forme ' u dx u  . Exemple 8 : 2 1 x I dx x x     : on remarque que   2 1 ' 2 1 x x x     d’où       2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 2 ln 1 arctan 2 2 2 3 3 2 1 1 1 x d x x dx I dx x x x C x x x x x x                        . (voir plus bas pour la dernière intégrale). Exemple 9 :   2 2 2 2 cos cos cos 2 cos 1 1 1 sin2 sin cos cos 2 4 4 x x x x I e x dx e x x dx e d x e C         . Exemple 10 :   2 2 tan 1 tan 'tan tan 2 cos x dx x xdx x C x      . 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles Pour toute forme     f x g x où f et g sont des polynômes en x (si le degré de f est supérieur à celui de g on effectuera d’abord la division euclidienne). Exemple 11 : 3 2 1 4 4 I dx x x x      . On décompose :             2 3 2 3 2 2 4 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 4 a b c x a b x a b c a b c x x x x x x x x x x x x                        d’où le système 0 1 1 1 3 0 , , 12 4 3 2 2 4 1 a b c a b a b c a b c               et 3 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 2 3 1 4 4 x x x x x x          . Enfin       1 1 12 4 1 3 2 2 1 1 1 ln 12 2 4 2 3 1 1 x x dx dx dx I C x x x x               . Prépa HEC 3 F. Laroche Problèmes intégration http://laroche.lycee.free.fr Exemple 12 :    2 2 2 8 3 2 1 1 2 x ax b c I dx dx dx x x x x x x             . On cherche et on trouve a, b, c : 2 2 2 3 1 5 2 1 5 2 2 1 1 1 x x x I dx dx dx dx dx x x x x x x x x                     . Il reste à intégrer :     2 2 1 3 2 3 1 ln 1 1 arctan 5ln 2 2 3 2 2 I x x x x x x    uploads/s3/ integration-prepa-pdf 1 .pdf