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1 Séquence 1 – MA11 Séquence 1 Second degré Sommaire Pré-requis Différentes for

1 Séquence 1 – MA11 Séquence 1 Second degré Sommaire Pré-requis Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2 Équation du second degré Signe du trinôme Synthèse du cours Exercices d’approfondissement © Cned - Académie en ligne 3 Séquence 1 – MA11 1 Pré-requis Fonction polynôme de degré 2 Définitions La fonction f déﬁnie sur par f x ax bx c : 2 + + avec a ≠0 est une fonction polynôme de degré 2 ou fonction trinôme. Propriété La courbe représentative de la fonction f x ax bx c : 2 + + avec a ≠0 est une parabole qui a l’allure suivante : Si a > 0 f est décroissante puis croissante. La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Allure : S b 2a Le point d’intersection de la parabole avec son axe de symétrie est le sommet de la parabole. Le sommet de la parabole a pour abscisse −b a 2 ; f atteint un minimum en ce point qui vaut f b a −       2 . Si a < 0 f est croissante puis décroissante. La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Allure : S b 2a Le point d’intersection de la parabole avec son axe de symétrie est le sommet de la parabole. Le sommet de la parabole a pour abscisse −b a 2 ; f atteint un maximum en ce point qui vaut f b a −       2 . A © Cned - Académie en ligne 4 Séquence 1 – MA11 On obtient le tableau de variation suivant : x –∞ −b a 2 +∞ variation de f f b a −       2 On obtient le tableau de variation suivant : x –∞ −b a 2 +∞ variation de f f b a −       2 Résoudre une équation a) Equation du 1er degré Résoudre : 3 – 4=0 x − + = 2 5 4 x 3 – 4=0 3 = 4 = 4 3 x x x S =       4 3 − + = − = − − = − = − −= =       2 5 4 2 4 5 2 1 1 2 1 2 1 2 x x x x S b) Equation produit Résoudre : (2x + 3)(-4x + 7)=0 (2 + 3)( 4 + 7)=0 2 + 3 = 0 ou 4 + 7=0 2 x x x x x − − = 3 ou 4 = -7 = 3 2 ou − − − x x x = 7 4 = 7 4 3 2 ; 7 4 − − = −       S B Exemple Solution Solution © Cned - Académie en ligne 5 Séquence 1 – MA11 c) Quelques équations du second degré Résoudre : 3 4 0 2 x x − = x2 25 0 − = 3 4 0 3 4 0 0 3 4 0 0 4 3 0 2 x x x x x x x x S − = − = = − = = = = ( ) ; ou ou 4 3       x x x x x x x 2 2 2 25 0 5 0 5 5 0 5 0 5 0 5 − = − = − + = −= + = = ( )( ) ou ou x S = − = − { } 5 5 5 ; Solution © Cned - Académie en ligne 6 Séquence 1 – MA11 2 Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2 Activité Étude d’un exemple On considère la fonction f déﬁnie sur par f x x x ( ) = + − 2 5 3 2 (*) Déterminer une nouvelle écriture de f Factorisons : 2 5 3 2 5 2 3 2 2 5 4 5 4 2 2 2 x x x x x + − = + −       = +      −      2 2 3 2 2 5 4 25 16 24 16 2 −         = +      − −         = x x +      −         = +      − 5 4 49 16 2 5 4 49 8 2 2 x (**) (*) est la forme développée de f (**) est la forme canonique de f ( x n’apparaît qu’une seule fois dans l’expression). A Activité 1 Regardons x x 2 5 2 + comme le début du développement d’un carré ( ...) x + 2 Ce résultat peut être obtenu avec la fonction forme_cano- nique du logiciel Xcas : Remarque © Cned - Académie en ligne 7 Séquence 1 – MA11 Calculer : et α β = − = − + b a b ac a 2 4 4 2 et et α β α β = − × = − + × × − × = − = − 5 2 2 5 4 2 3 4 2 5 4 49 8 2 ( ) Montrer que f admet un minimum en x = −5 4 et donner la valeur de ce minimum. f x f x f x f x x x x f x f f x f ( ) 5 4 2( 5 4) 49 8 49 8 ( ) 5 4 2( 5 4) Comme 2 0 et, pour 5 4 , 5 4 0, on a Pour 5 4 , ( ) 5 4 0 soit ( ) 5 4 2 2 2 − −      = − − + − −      = − > ≠− −      > ≠− − −      > > −       f admet un minimum en x = −5 4 qui vaut f −      = − 5 4 49 8 Ceci correspond au sommet S − −       5 4 49 8 ; de la parabole. Conclusion : Dans cet exemple, la forme canonique de f est donnée par : f x a x b a b ac a ( ) ( ) = − + = − = − + α β α β 2 2 2 4 4 avec et Ce résultat se généralise à toute fonction polynôme de degré 2. Cours Forme développée et forme canonique B Théorème 1 Toute fonction trinôme f définie par f x ax bx c ( ) = + + 2 s’écrit sous la forme f x a x b a b ac a ( ) ( ) = − + = − = − + α β α β 2 2 2 4 4 avec et f x ax bx c ( ) = + + 2 est la forme développée de f . f x a x ( ) ( ) = − + α β 2 est la forme canonique de f . © Cned - Académie en ligne 8 Séquence 1 – MA11 Démonstration Soit f x ax bx c ( ) = + + 2 avec a ≠0 f x a x b a x c a x b a b a c a x b ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + + = + −      + = + 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 a b a c a x b a b a c a x b a ) ( ) ( ) −      + = + − + = + + − +       = + + − + b a ac a a x b a b ac a 2 2 2 4 4 4 2 4 4 ( ) Posons α β = − = − + b a b ac a 2 4 4 2 et , on a bien f x a x ( ) ( ) = − + α β 2 Sommet de la parabole Démonstration f a ( ) ( ) α β β = + = 0 2 Montrons que f réalise un extremum en α : f x f a x a x ( ) ( ) ( ) ( uploads/s3/ al7ma11tepa0012-sequence-01-pdf.pdf