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N. PISKOUNOV CALCUL DIFFERENTIEL et INTEGRAL Tome I 9e édition EDITION MIR • MO

N. PISKOUNOV CALCUL DIFFERENTIEL et INTEGRAL Tome I 9e édition EDITION MIR • MOSCOU 10 Traduit du russe par G. DER-MEGERDITCHIAN (ch. I-X) et E. GLOUKHIAN (ch. XI-XII)  Traduction française Editions Mir 1980 TABLE DES MATIÈRES Avant-propos à la cinquième édition 11 CHAPITRE I NOMBRE, VARIABLE, FONCTIONS § 1. Nombres réels. Représentation des nombres réels par les points de l'axe numérique 13 § 2. Valeur absolue d'un nombre réel 15 § 3. Grandeurs variables et grandeurs constantes 16 § 4. Domaine de définition d'une variable 17 § 5. Variable ordonnée. Variable croissante et variable décroissante. Variable bornée 19 § 6. Fonction 20 § 7. Diverses formes d'expression des fonctions 21 § 8. Principales fonctions élémentaires. Fonctions élémentaires . 23 § 9. Fonctions algébriques 28 § 10. Système de coordonnées polaires 30 Exercices 32 CHAPITRE II LIMITE ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS § 1. Limite d'une grandeur variable. Grandeur variable infiniment grande 34 § 2. Limite d'une fonction 37 § 3. Fonctions qui Fendent vers l'infini. Fonctions bornées 40 §4. Infiniment petits et leurs propriétés fondamentales 44 § 5. Théorèmes fondamentaux sur les limites 47 § 6. Limite de la fonction x x sin quand x → 0 51 § 7. Le nombre e 53 § 8. Logarithmes népériens 58 § 9. Continuité des fonctions 59 § 10. Propriétés des fonctions continues 64 § 11. Comparaison des infiniment petits . . . . 66 Exercices 69 CHAPITRE III DÉRIVÉE ET DIFFÉRENTIELLE § 1. Vitesse d'un mouvement 72 § 2. Définition de la dérivée 74 § 3. Interprétation géométrique de la dérivée 76 § 4. Fonctions dérivables 77 § 5. Dérivée de la fonction y = xn pour n entier et positif 79 § 6. Dérivées des fonctions y = sin x; y = cos x 81 § 7. Dérivées d'une constante, du produit d'une constante par une fonction, d'une somme, d'un produit et du rapport de deux fonctions 83 § 8. Dérivée d'une fonction logarithmique 88 § 9. Dérivée d'une fonction composée 89 § 10. Dérivées des fonctions y = tg x, y = ctg x, y = Log | x | 91 § 11. Fonction implicite et sa dérivée 93 § 12. Dérivée d'une fonction puissance quand l'exposant est un nombre réel quelconque, dérivée de la fonction exponentielle et de la fonction composée exponentielle 95 § 13. Fonction inverse (ou réciproque) et sa dérivée 98 § 14. Fonctions trigonométriques inverses et leurs dérivées 102 § 15. Tableau des principales formules de dérivation 106 § 16. Fonctions données sous forme paramétrique 108 § 17. Equations paramétriques de certaines courbes 109 § 18. Dérivée d'une fonction donnée sous forme paramétrique 112 § 19. Fonctions hyperboliques 114 § 20. Différentielle 117 § 21. Interprétation géométrique de la différentielle 121 § 22. Dérivées de différents ordres 122 § 23. Différentielles de différents ordres 125 § 24. Dérivées de différents ordres des fonctions implicites et. des fonctions données sous forme paramétrique 126 § 25. Interprétation mécanique de la dérivée seconde 129 § 26. Equations de la tangente et de la normale. Longueurs de la sous-tangente et de la sous-normale 130 § 27. Interprétation géométrique de la dérivée du rayon vecteur par rapport à l'angle polaire 133 Exercices 135 CHAPITRE IV THÉORÈMES RELATIFS AUX FONCTIONS DÉRIVABLES § 1. Théorème relatif aux racines de la dérivée (théorème de Rolle) 147 § 2. Théorème des accroissements finis (théorème de Lagrange) 149 § 3. Théorème de Cauchy (rapport des accroissements de deux fonctions) 150 § 4. Limite du rapport de deux infiniment petits (vraie valeur des indéterminations de la forme 0 0 ) 151 § 5. Limite du rapport de deux infiniment grands (vraie valeur des indéterminations de la forme ∞ ∞) 155 § 6. Formule de Taylor 160 § 7. Développement des fonctions ex, sin x, cos x par la formule de Taylor 164 Exercices 168 CHAPITRE V ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS § 1. Position du problème 171 § 2. Croissance et décroissance des fonctions 172 § 3. Maximum et minimum des fonctions 174 § 4. Marche à suivre pour l'étude du maximum et du minimum d'une fonction dérivable à l'aide de la dérivée première 181 § 5. Etude du maximum et du minimum des fonctions à l'aide de la dérivée seconde 183 § 6. Plus grande et plus petite valeur d'une fonction sur un segment 187 § 7. Application de la théorie 4u maximum et du minimum des fonctions à la résolution de problèmes 188 § 8. Etude des maximums et des minimums d'une fonction à l'aide de la formule de Taylor 190 § 9. Convexité et concavité des courbes. Points d'inflexion 192 § 10. Asymptotes 199 § 11. Schéma général de l'étude des fonctions et de la construction des graphiques 203 § 12. Etude des courbes données sous forme paramétrique 207 Exercices 212 CHAPITRE VI COURBURE D'UNE COURBE § 1. Longueur de l'arc et sa dérivée 219 § 2. Courbure 221 § 3. Calcul de la courbure 223 § 4. Calcul de la courbure des courbes sous forme paramétrique 226 § 5. Calcul de la courbure des courbes en coordonnées polaires 227 § 6. Rayon et cercle de courbure. Centre de courbure. Développée et développante 228 § 7. Propriétés de la développée 234 § 8. Calcul approché des racines réelles d'une équation 237 Exercices 242 CHAPITRE VII NOMBRES COMPLEXES, POLYNÔMES § 1. Nombres complexes. Définitions 245 § 2. Principales opérations sur les nombres complexes 247 § 3. Elévation d'un nombre complexe à une puissance et extraction de la racine d'un nombre complexe 250 § 4. Fonction exponentielle à exposant complexe et ses propriétés 253 § 5. Formule d'Euler. Forme exponentielle d'un nombre complexe 256 § 6. Décomposition d'un polynôme en facteurs 258 § 7. Racines multiples du polynôme 261 § 8. Décomposition en facteurs d'un polynôme dans le cas des racines complexes 263 § 9. Interpolation. Formule d'interpolation de Lagrange 264 § 10. Formule d'interpolation de Newton 266 § 11. Dérivation numérique 268 § 12. Meilleure approximation d'une fonction par des polynômes. Théorie de Tchébychev 269 Exercices 271 CHAPITRE VIII FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES § 1. Définition des fonctions de plusieurs variables 273 § 2. Représentation géométrique d'une fonction de deux variables 276 § 3. Accroissement partiel et accroissement total de la fonction 277 § 4. Continuité des fonctions de plusieurs variables 279 § 5. Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables 282 § 6. Interprétation géométrique des dérivées partielles d'une fonction de deux variables 284 § 7. Accroissement total et différentielle totale 285 § 8. Emploi de la différentielle totale pour les calculs approchés 288 § 9. Emploi de la différentiel) pour évaluer l'erreur commise pendant les calculs numériques 289 § 10. Dérivée d'une fonction composée. Dérivée totale. Différentielle totale d'une fonction composée 293 § 11. Dérivation des fonctions implicites 297 § 12. Dérivées partielles de différents ordres 300 § 13. Surfaces de niveau 305 § 14. Dérivée suivant une direction donnée 306 § 15. Gradient 308 § 16. Formule de Taylor pour une fonction de deux variables 312 § 17. Maximum et minimum d'une fonction de plusieurs variables 314 § 18. Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables soumises à certaines conditions (maximums et minimums liés) 323 § 19. Dépendance fonctionnelle obtenue en traitant les données expérimentales par la méthode des moindres carrés 328 § 20. Points singuliers d'une courbe 332 Exercices 338 CHAPITRE IX APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL À LA GÉOMÉTRIE DE L'ESPACE § 1. Equation d'une courbe dans l'espace 342 § 2. Limite et dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable scalaire indépendante. Equation de la tangente à une courbe. Equation du plan normal 345 § 3. Règles de dérivation des vecteurs (fonctions vectorielles) 351 § 4. Dérivées première et seconde d'un vecteur par rapport à la longueur de l'arc. Courbure de la courbe. Normale principale. Vitesse et accélération du point dans un mouvement curviligne 354 § 5. Plan osculateur. Binormale. Torsion d'une courbe gauche 363 § 6. Plan tangent et normale à une surface 368 Exercices 372 CHAPITRE X INTÉGRALE INDÉFINIE § 1. Primitive et intégrale indéfinie 375 § 2. Table d'intégrales 378 § 3. Quelques propriétés de l'intégrale indéfinie 380 § 4. Intégration par changement de variable 382 § 5. Intégration de certaines expressions contenant le trinôme ax2 + bx + c 384 § 6. Intégration par parties 387 § 7. Fractions rationnelles. Fractions rationnelles élémentaires et leur intégration 390 § 8. Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples 395 § 9. Intégration des fractions rationnelles 399 § 10. Intégration des fonctions irrationnelles 402 § 11. Intégrales du type dx c bx ax x R ∫ + + ) , ( 2 404 12. Intégration de certaines classes de fonctions trigonométriques 407 § 13. Intégration de certaines fonctions irrationnelles à l'aide de transformations trigonométriques 412 § 14. Fonctions dont les intégrales ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires 414 Exercices 416 CHAPITRE XI INTÉGRALE DÉFINIE § 1. Position du problème. Sommes intégrales inférieure et supérieure 427 § 2. Intégrale définie. Théorème d'existence de l'intégrale définie 429 § uploads/s3/ calcul-differentiel-et-integral-tome1-n-piskounov-mir.pdf