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Cours : d’Algèbre Première Année Licence L1 ≠S1 - E.N.I-A.B.T i TABLE DES MATIÈ

Cours : d’Algèbre Première Année Licence L1 ≠S1 - E.N.I-A.B.T i TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de Logique 1 1.1 Introduction à la logique mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Assertion et prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 Négation d’une proposition quantiﬁée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Méthode de raisonnement mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Ensembles et Applications 8 2.1 Notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Opération sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Propriétés des opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Notion d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Image directes ou réciproques de parties par une application . . . . . . . . . 13 2.7 Relations binaires dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7.1 Propriétés des relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ii TABLE DES MATIÈRES 2.7.2 Classe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Calcul dans l’espace vectoriel normé 17 3.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 Déﬁnitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2 Suites et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.3 Notions de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Déﬁnition et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.1 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . 28 3.5 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5.1 Interprétation géométrique du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6.1 Eléments particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Groupes, anneaux et corps 35 4.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4.1 Notion d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4.2 Sous-anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4.3 Anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5.2 Sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5 Nombres complexes 41 5.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Calcul dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ algebre-1 1 .pdf