Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie I – L

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 12 octobre 2013 Table des matières 1 Sommes 3 I Manipulation des signes P et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.1 Déﬁnition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.2 Règles de manipulation des signes P et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.3 Changements d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.4 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.5 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.6 Rapide introduction à la notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.1 Somme des puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.2 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III Coeﬃcients binomiaux, formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Fondements logiques 19 I Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.1 Construction formelle d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.2 Véracité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.3 Équivalences entre formules, tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 I.4 Démonstration formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II Calcul des prédicats du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 II.1 Construction formelle d’une formule du calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . 24 II.2 Règles concernant les quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.3 Valeur de vérité et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 III Composition d’un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 III.1 Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 III.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 IV Quelques types classiques de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 IV.1 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 IV.2 La transitivité de l’implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 IV.3 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.4 Cas particulier : démonstration par l’absurde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV.7 Raisonnement par récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV.8 Récurrence d’ordre k : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Table des matières IV.9 Récurrence forte : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 IV.10 Récurrences multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 IV.11 Principe de la descente inﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Ensembles, applications, relations 35 I Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I.1 Déﬁnition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.3 Unions et intersections inﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 I.4 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 I.5 La crise des fondements . . . . . uploads/s3/ coursmpsi-fondements.pdf