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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 503 − 1 Approche variationnelle pour la méthode des éléments ﬁnis par Pierre SPITERI Docteur ès sciences mathématiques Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse (ENSEEIHT) epuis l’avènement des ordinateurs il y a maintenant plus d’un demi-siècle et, compte tenu en particulier de l’augmentation de leur puissance de calcul, la simulation numérique a remplacé l’expérimentation directe trop coûteuse et longue à mettre en œuvre ; celle-ci n’est plus, de nos jours, qu’un moyen de véri- ﬁcation des calculs effectués sur machine. Sur le plan mathématique, la simula- tion numérique nécessite essentiellement la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles qui conduisent à l’obtention de solutions approchées. Il existe de nombreuses méthodes d’approximation qui présentent toutes des avantages et des inconvénients ; citons, à titre illustratif, la méthode des diffé- rences ﬁnies, la méthode des volumes ﬁnis, les méthodes spectrales, etc. Dans les trois articles qui composent cet ensemble, nous nous intéressons à la méthode des éléments ﬁnis qui est très utilisée dans l’industrie, en particulier en aéronautique, dans l’industrie automobile, en météorologie, etc. Cette méthode est intéressante, compte tenu de sa souplesse d’utilisation, en particulier vis-à-vis de l’approximation des divers opérateurs modélisant des phénomènes en physi- que-mathématique et également pour la prise en compte de conditions aux limi- tes portant sur les gradients de la fonction à calculer. Cette souplesse apparaît également dans le fait que les domaines où sont déﬁnies les équations aux déri- vées partielles peuvent être approchés au mieux et, en particulier, il peut être tenu compte du caractère courbe des frontières de ces domaines ; de plus, les nœuds de la discrétisation, c’est-à-dire les points où sont approchées les fonctions à calculer, peuvent être répartis de façon arbitraire, ce qui permet d’avoir un maillage serré dans les zones à forte variation de la solution et un maillage relati- vement grossier dans les régions où cette solution varie peu ; dans le même ordre d’idée, il n’est pas nécessaire d’utiliser des maillages uniformes à pas cons- tant, la déﬁnition d’éléments de dimension variable s’effectuant sans difﬁculté ; cela est particulièrement appréciable lors de l’étude des phénomènes déﬁnis dans des milieux hétérogènes. Enﬁn, sur le plan informatique, la méthode des éléments ﬁnis conduit à l’écriture de code de calculs les plus généraux possible, ce qui correspond certes à un avantage mais aussi à un inconvénient, compte tenu de la difﬁculté pratique de programmation de cet algorithme ; il convient de noter cependant que le schéma de principe du code est relativement simple, la complexité découlant des innombrables possibilités qu’offre la méthode. De plus, le développement d’un tel code nécessite de longs mois de programmation. 1. Présentation générale............................................................................. AF 503 – 2 2. Modélisation d’un problème d’élasticité simple............................. — 2 3. Analyse mathématique du problème ................................................. — 5 4. Formulation variationnelle pour diverses EDP monodimensionnelles. .......................................................................... — 7 5. Extension au cas de problèmes d’EDP bidimensionnels .............. — 9 6. Conclusion ................................................................................................. — 13 Références bibliographiques ......................................................................... — 13 D APPROCHE VARIATIONNELLE POUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS __________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. AF 503 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales Une autre difﬁculté de compréhension de la méthode des éléments ﬁnis réside dans le formalisme mathématique préalable et sous-jacent à la mise en œuvre algorithmique. En effet, compte tenu de la complexité croissante des modèles mathématiques permettant la compréhension de phénomènes de plus en plus compliqués à expliquer, il a été nécessaire de s’appuyer sur des résultats d’ana- lyse fonctionnelle élaborés [1] pour formuler cette méthode d’approximation. Paradoxalement, ce cadre conceptuel abstrait permet de ne pas imposer aux solutions éventuelles d’être indéﬁniment dérivables mais au contraire de recher- cher la dérivabilité minimale que l’on doit imposer aﬁn que les écritures mathé- matiques aient un sens. Cela permet d’obtenir une formulation du problème qui peut s’interpréter sur le plan physique soit comme la solution d’un problème de minimisation d’énergie, à condition toutefois que certaines propriétés de symé- trie soient vériﬁées (ce qui n’est pas toujours le cas), soit grâce à une analogie avec le classique théorème des travaux virtuels. Ce second point de vue a été préféré à l’aspect minimisation du fait de sa plus grande facilité d’exposition et de sa plus grande généralité. Cette partie théorique sera abordée de manière progressive, les aspects conceptuels étant essentiellement exposés en dimen- sion un mais de telle sorte que la généralisation à la dimension deux ou trois s’effectue de manière naturelle. Il convient de noter pour terminer que la mise en œuvre informatique n’a pas été volontairement abordée dans la mesure où la présentation de l’implantation de cette méthode aurait considérablement alourdi l’exposé ; cependant les aspects abordés dans cet article facilitent la compréhension des phases de pro- grammation de la méthode des éléments ﬁnis. Cet ensemble se compose de trois articles : — [AF 503] Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis ; — [AF 504] Introduction à la méthode des éléments finis ; — [AF 505] Présentation générale de la méthode des éléments finis. 1. Présentation générale Cette phase de transformation du problème est certainement la plus délicate et la plus difﬁcile à traiter car, en toute rigueur, elle nécessite l’utilisation de notions mathématiques très ﬁnes et très abstraites, comme la théorie des distributions. Dans cet article, nous nous sommes efforcés d’aplanir les difﬁcultés en considérant pour commencer d’une part la modélisation d’un problème simple, ce qui permet de vériﬁer l’équivalence de la formulation de divers problè- mes, et d’autre part des équations aux dérivées partielles déﬁnies dans un domaine monodimensionnel. La généralisation à des domaines inclus dans ou s’effectue en toute rigueur grâce à l’utilisation de la théorie des distributions ; pour notre part, nous avons préféré utiliser la formule de Green, qui généralise la formule d’intégration par parties utilisée dans le cas précédent simple où . Par ailleurs, la formulation variationnelle d’une équation aux dérivées partielles nécessite l’utilisation d’espaces fonctionnels, les espaces de Sobolev, que nous déﬁnissons de la façon la plus simple possible ; ces espaces sont importants car ils rendent compte en fait de la régularité des fonctions à approcher au mieux. Enﬁn on donne quelques indications sur la formulation du problème d’équation aux dérivées partielles qui, dans certains cas, peut s’exprimer sous forme d’un problème d’optimisation, ce qui conduit à la méthode de Ritz, que nous ne développerons pas ici. 2. Modélisation d’un problème d’élasticité simple On considère une corde élastique de longueur unité, ﬁxée en ses extrémités, qui au repos occupe une position qui coïncide avec l’axe Ox. On soumet cette corde à une force de densité par unité de lon- gueur dont la direction est perpendiculaire à l’axe Ox. Sous l’effet de cette force, la corde subit un déplacement , perpendi- culaire à l’axe Ox. Dans la suite, on supposera que ce déplacement est petit. Le problème revient à déterminer , en tous points . Soit l’énergie totale du système mécanique consi- déré pour un déplacement v de la corde. On sait que le déplacement minimise pour tous les déplacements admissibles, c’est- à-dire pour tous les déplacements nuls aux points et , tels que l’énergie ait un sens physique, c’est-à-dire que soit ﬁnie. Soit V l’espace des déplacements admissibles, c’est-à-dire l’espace qui rend compte des contraintes du problème, à savoir : et (énergie ﬁnie) L’énergie est la somme de l’énergie de déformation et de l’énergie potentielle dérivant de la force pour un dépla- cement . Écrivons en détail le bilan d’énergie : l’énergie est l’énergie des contraintes intérieures et l’on sait qu’elle est propor- tionnelle à la variation de la longueur de la corde ; par conséquent, cette quantité est donnée par la relation : La méthode des éléments ﬁnis est une méthode d’approxima- tion des solutions d’équations aux dérivées partielles qui est construite à partir d’une formulation équivalente du problème à résoudre ; cette dernière est appelée formulation variationnelle du problème et nécessite le minimum de régularité de la solution. Ω 2 3 Ω ⊂ f x ( ) u x ( ) u x ( ) x ]0 1[ , ∈ E v ( ) u x ( ) E v ( ) x 0 = x 1 = E v ( ) E v ( ) v V ∈ v 0 ( ) ⇔ v 1 ( ) 0 = = E v ( ) +∞ < E v ( ) ED EP f x ( ) v V ∈ ED ED v ( ) A 1 v d x d - - - - - - -    2 + 1 –    x d v V ∈ ∀ , 0 1 ∫ = __________________________________________________________________________ APPROCHE VARIATIONNELLE POUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © uploads/s3/ approche-variationnelle-pour-la-methode-des-elements-finis-pdf.pdf