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Chapitre 3 : Suites numériques (II) SUITES NUMÉRIQUES (II) CORRECTION DES EXERC

Chapitre 3 : Suites numériques (II) SUITES NUMÉRIQUES (II) CORRECTION DES EXERCICES SUITES ARITHMÉTIQUES Exercice 1 : Indiquons en justiﬁant si chacune des suites ci-dessous sont arith- métiques et dans l’aﬃrmative, précisons sa raison. 1. u0 = −3 et, ∀n ∈N, un+1 = un + 25. La suite (un) est écrite sous la forme un+1 = un + r Donc (un) est une suite arithmétique de raison 25 2. v1 = 1 et, ∀n ∈N∗, vn+1 = vn + 2 n. La suite (vn) n’est pas une suite arithmétique car : vn+1−vn = 2 n et 2 n n’est pas constant car dépendant de l’entier n 3. w0 = 5 et, ∀n ∈N, wn+1 = 5wn −2 5 . On a: wn+1 = 5wn −2 5 = wn −2 5 wn+1 = wn −2 5 La suite (wn) est écrite sous la forme wn+1 = wn +r donc (wn) est une suite arithmétique de raison −2 5 4. t0 = 4 et, ∀n ∈N, tn+1 = −7tn. La suite (tn) n’est pas une suite arithmétique car : c ⃝Cours Galilée Toute reproduction, même partielle, est strictement interdite. 1 Chapitre 3 : Suites numériques (II) tn+1 −tn = −7tn −tn = −8tn et −8tn n’est pas constant car dépendant de l’entier n. Exercice 2 : Indiquons en justiﬁant si chacune des suites ci-dessous sont arith- métiques. Dans l’aﬃrmative, précisons sa raison et son premier terme. 1. un = (2n −3)2 avec n ∈N. On a: un+1 = (2(n + 1) −3)2 = (2n −1)2 un+1 −un = (2n −1)2 −(2n −3)2 = [(2n −1) −(2n −3)] [(2n −1) + (2n −3)] = (2n −1 −2n + 3)(2n −1 + 2n −3) = 2(4n −4) = 8n −8 un+1 −un = 8n −8 et 8n −8 n’est pas constant car dépendant de l’entier n donc la suite (un) n’est pas une suite arithmétique. 2. vn = 5, 25n avec n ∈N. La suite (vn) est écrite sous la forme vn = r × n + v0 avec r = 5, 25 et v0 = 0. Par conséquent, la suite (vn) est une suite arithmétique de raison 5, 25 et de premier terme v0 = 0. 3. wn = 5n −2 avec n ∈N. La suite (wn) est écrite sous la forme wn = r × n + w0 avec r = 5 et w0 = −2. Par conséquent, la suite (wn) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme w0 = −2. 4. tn = 4(−1)n avec n ∈N∗. c ⃝Cours Galilée Toute reproduction, même partielle, est strictement interdite. 2 Chapitre 3 : Suites numériques (II) On a: tn+1 = 4(−1)n+1 tn+1 −tn = 4(−1)n+1 −4(−1)n = 4(−1)n × (−1) −4(−1)n = −4(−1)n −4(−1)n = −8(−1)n tn+1 −tn = −8(−1)n et −8(−1)n n’est pas constant car dépen- dant de l’entier n donc la suite (tn) n’est pas une suite arith- métique. Exercice 3 : Indiquons en justiﬁant si chacune des suites ci-dessous sont arith- métiques. Dans l’aﬃrmative, précisons sa raison et son premier terme. 1. an = (n + 2)2 −n2 avec n ∈N an = (n + 2)2 −n2 = n2 + 4n + 4 −n2 = 4n + 4 La suite (an) est écrite sous la forme an = r × n + a0 avec r = 4 et a0 = 4 donc la suite (an) est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme a0 = 4. 2. bn = 15n + 6 5 avec n ∈N On a: bn = 15n + 6 5 = 3n + 6 5 La suite (bn) est écrite sous la forme bn = r ×n+b0 avec r = 3 et b0 = 6 5 donc la suite (bn) est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 6 5. c ⃝Cours Galilée Toute reproduction, même partielle, est strictement interdite. 3 Chapitre 3 : Suites numériques (II) 3. cn = n2 −9 n + 3 avec n ∈N. cn = n2 −9 n + 3 = (n −3)(n + 3) n + 3 cn = n −3 La suite (cn) est écrite sous la forme cn = r ×n+c0 avec r = 1 et c0 = −3 donc la suite (cn) est donc une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme c0 = −3. 4. d0 = −2 et ∀n ∈N, dn+1 = 3dn −7 3 dn+1 = 3dn −7 3 = dn −7 3 donc dn+1 −dn = −7 3 La suite (dn) est donc une suite arithmétique de raison −7 3 et de premier terme −2. Exercice 4 : La suite (tn) est la suite des multiples positifs non nuls de 3. On a donc t0 = 1 × 3 = 3. 1. Justiﬁons que (tn) est arithmétique et donnons sa raison. t0 = 1 × 3 = 3 t1 = 2 × 3 = 6 = 3 + 3 = t0 + 3 t2 = 3 × 3 = 9 = 6 + 3 = t1 + 3 On en déduit que tn+1 = tn + 3 Ainsi la suite (tn) est une suite arithmétique de raison 3 2. Donnons la formule explicite de (tn). La suite (tn) est une suite arithmétique de premier terme t0 = 3 c ⃝Cours Galilée Toute reproduction, même partielle, est strictement interdite. 4 Chapitre 3 : Suites numériques (II) et de raison r = 3 donc en utilisant la formule tn = r × n + t0 on obtient : tn = 3n + 3 3. Déterminons t7 et t15. On a de ce qui précède tn = 3n + 3 donc: • t7 t7 = 3 × 7 + 3 = 21 + 3 = 24 Donc t7 = 24 • t15 t15 = 3 × 15 + 3 = 45 + 3 = 48 Donc t15 = 48 4. Donnons l’indice du terme égal à 333. Soit k l’indice du terme égal à 333. tk = 333 ⇔3 × k + 3 = 333 ⇔3k = 333 −3 ⇔k = 330 3 = 110 D’où l’indice du terme égal à 333 est 110. Exercice 5 : (un) est une suite arithmétique avec u4 = 8 et u7 = 14. 1. Donnons la raison de un et le premier terme u0. Soit r la raison de un On sait que : u5 −u4 = r, u6 −u5 = r et u7 −u6 = r En faisant la somme membre à membre on obtient: u5 −u4 + u6 −u5 + u7 −u6 = 3r ⇔ u7 −u4 = 3r ⇔ r = u7 −u4 3 ⇔ r = 14 −8 3 ⇔ r = 2 c ⃝Cours Galilée Toute reproduction, même partielle, est strictement interdite. 5 Chapitre 3 : Suites numériques (II) Calculons le premier terme u0. (un) étant une suite arithmétique alors un peut s’écrire sous la forme un = 2 × n + u0 car (un) a pour raison r = 2. On sait que u4 = 8 donc on a: u4 = 2 × 4 + u0 = 8 ⇔ 8 + u0 = 8 ⇔ u0 = 0 D’où le premier terme de la suite (un) est u0 = 0 2. Calculons u5, u9 et u20. La suite (un) est une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u0 = 0 donc un = 2n donc on a: • u5 = 2 × 5 = 10 • u9 = 2 × 9 = 18 • u20 = 2 × 20 = 40 3. Donnons l’entier naturel n pour lequel un = 644. un = 644 ⇔2n = 644 ⇔n = 644 2 = 322 Donc un = 644 pour l’entier n = 322 Exercice 6 : Déterminons le sens de variation de chacune des suites arithmétique ci-dessous. c ⃝Cours Galilée Toute reproduction, même partielle, est strictement interdite. 6 Chapitre 3 : Suites numériques (II) 1. un = 2n2 −50 n + 5 avec n ∈N un = 2n2 −50 n + 5 = 2(n2 −25) n + 5 = 2(n −5)(n + 5) n + 5 = 2(n −5) un = 2n −10 un = 2n −10 donc (un) est une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u0 = −10. On a : r = 2 > 0 donc la suite (un) est une suite strictement croissante. 2. v0 = −3 et vn+1 = vn −2 On a : vn+1 −vn = −2 La suite (vn) est une suite arithmétique de raison r = −2. r = −2 < 0 donc la suite (vn) est strictement décroissante. 3. w0 = −2 et wn+1 = 7 3 + wn On a: wn+1 −wn = 7 3 La suite (wn) est une suite arithmétique de raison r = 7 3 r = 7 3 > 0 donc la suite (wn) est strictement croissante. 4. tn = 7n −2 avec n ∈N La suite (tn) est une suite arithmétique écrite sous la forme tn = uploads/s3/ correction-1-suite-2.pdf