Dev oir Surv eillé n◦ 1 - Corrigé 1 h - al ulatri e autorisée 1. Connaissan e d

Dev oir Surv eillé n◦ 1 - Corrigé 1 h - al ulatri e autorisée 1. Connaissan e du ours (a) P1 signi e qu'il existe un nom bre M tel que, p our tout n ∈ N, on a un ⩽M . P4 signi e que p our tout nom bre M , il existe n0 ∈ N tel que, p our tout n ⩾n0 on a un ⩾M . (b) Si les propriétés P1 et P5 son t vraies, alors la suite {un}n∈N est on v ergen te (théorème de la limite monotone). ( ) Si les propriétés P2 et P5 son t vraies, alors {un}n∈N est div ergen te v ers +∞. (d) Oui, ar une suite qui tend v ers +∞ dépasse tout nom bre xé M à partir d'un ertain rang, elle ne p eut don être ma jorée. 2. R estitution Or ganisé e des Connaissan es V oir le ours. 3. Cal ul de limites (a) ∀n ∈N, un = 5n2 −3n + 1 n2 + n + 1 ∀n ∈N∗, un = n2 5 −3 n + 1 n2  n2 1 + 1 n + 1 n2  ∀n ∈N∗, un = 5 −3 n + 1 n2 1 + 1 n + 1 n2 Comme limn→+∞ 1 n = limn→+∞ 1 n2 = 0 , nous p ouv ons en on lure que : lim n→+∞un = 5 1 = 5 (b) ∀n ∈N, un = 2 sin(n) + 3 n + 1 ∀n ∈N, −1 ⩽ sin n ⩽1 −1 × 2 + 3 ⩽ 2 sin n + 3 ⩽2 × 1 + 3 1 n + 1 ⩽ 2 sin n + 3 n + 1 ⩽ 5 n + 1 ar n + 1 ⩾0 Comme limn→+∞ 1 n + 1 = limn→+∞ 5 n + 1 = 0 , nous p ouv ons en on lure par le théorème des gendarmes que : lim n→+∞un = 0 1 ( ) ∀n ∈N, un = 3n −2n 3n + 2n ∀n ∈N, un = 3n 1 −2n 3n  3n 1 + 2n 3n  ∀n ∈N, un = 1 − 2 3 n 1 + 2 3 n 2 3 n n∈N est une suite géométrique de raison 2 3 < 1 , par onséquen t limn→+∞ 2 3 n = 0 . Nous p ouv ons en on lure que : lim n→+∞un = 1 1 = 1 4. Cal ul de limite + (a) Il faut p enser aux expressions onjuguées. ∀n ∈N∗, 5 q 2 + 5 n + √ 2 = 5 q 2 + 5 n − √ 2  q 2 + 5 n + √ 2  q 2 + 5 n − √ 2  = 5 q 2 + 5 n − √ 2  2 + 5 n −2 en utilisan t l'iden tité remarquable (a −b)(a + b) = a2 −b2 . = 5n q 2 + 5 n − √ 2  5 = n r 2 + 5 n − √ 2 ! = √ 2n2 + 5n −n √ 2 (b) Nous v enons de mon trer que ∀n ∈N∗, un = 5 q 2 + 5 n + √ 2 et nous sa v ons que limn→+∞ 5 n = 0 , par onséquen t nous a v ons : lim n→+∞un = 5 2 √ 2 = 5 √ 2 4 5. Suite arithméti o-gé ométrique On onsidère la suite {un}n∈N dé nie par : u0 = 1 et, ∀n ∈ N, un+1 = 1 3un + 4 . (a) ∀n ∈N, nous a v ons : vn+1 = un+1 −6 = 1 3un + 4 −6 = 1 3un −2 2 Or ∀n ∈N, un = vn + 6 , don : vn+1 = 1 3 (vn + 6) −2 = 1 3vn + 2 −2 = 1 3vn De plus, v0 = u0 −6 = 1 −6 = −5 . Ainsi, {vn}n∈N est une suite géométrique de premier terme v0 = −5 et de raison 1 3 . (b) Nous déduisons de la question pré éden te que ∀n ∈N, vn = −5 1 3 n . Ainsi, ∀n ∈N, un = vn + 6 = −5 1 3 n + 6 . ( ) 1 3 n n∈N est une suite géométrique de raison p ositiv e stri temen t inférieure à 1 . Nous a v ons don limn→+∞ 1 3 n = 0 . P ar onséquen t, limn→+∞un = 6 . 6. R é urr en es. (a) On p ose ∀n ∈N, Pn = {4 ⩽un+1 ⩽un} Initialisation : P0 = {4 ⩽u1 ⩽u0} est vraie ar u0 = 5 et u1 = √ 17 . Hér é dité : Mon trons que, ∀n ∈N, Pn ⇒Pn+1 . Soit n ∈N xé, et supp osons Pn vraie. 4 ⩽ un+1 ⩽un ⇒4 + 12 ⩽ un+1 + 12 ⩽un + 12 ⇒ √ 4 + 12 ⩽ p un+1 + 12 ⩽ √ un + 12 ar x 7→√x est roissan te sur R+ ⇒4 ⩽ un+2 ⩽un+1 La propriété Pn+1 est don vraie. Con lusion : P ar le prin ip e du raisonnemen t par ré urren e, la propriété est vraie p our tout en tier naturel n . (b) Elle est dé roissan te et minorée, elle est don on v ergen te par le théorème de la limite monotone. P ar passage à la limite de la relation de ré urren e, sa limite l doit v éri er l'équation : l = √ l + 12 Une v éri ation rapide mon tre que la seule solution est l = 4 . 3 uploads/s3/ corrige-du-devoir-surveille-1.pdf

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Administrationsuite limn→+∞ limite n→+∞un {un}n∈n
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