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C:\Users\jm\Documents\Word\1_Lycée\1_Terminale S_2012\CH4 Exponenetielle et Log

C:\Users\jm\Documents\Word\1_Lycée\1_Terminale S_2012\CH4 Exponenetielle et Log\Devoirs\corrigé DM N 155.doc Corrigé DM N° 155 (logarithme) 1.a. Pour tout réel positif, f est dérivable et f '(x) = 1 – 1 1 + x = x 1 + x , sur I R+ *, x et 1 + x sont strictement positifs et donc f '(x) > 0. La fonction f est donc strictement croissante sur I R+. Ce qui donne, pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ f(0) or f(0) = 0 d'où, x – ln( x + 1) ≥ 0 et donc ln(1 + x) ≤ x b. pour tout n  I N*, 1 n  I R+. Le résultat du a. s'applique et donc, ln (1 + 1 n ) ≤ 1 n n ln (1 + 1 n ) ≤ 1 ln      1 + 1 n n ≤ 1 ln un ≤ 1 c. Raisonnement par l'absurde. On suppose que lim n n u  , avec limln x x  , par composition, on aurait, limln n n u   or, d'après b., ln un est majorée par 1, ce qui est incompatible. 2. a. vn = ln un = n ln (1 + 1 n ) en posant x = 1 n, on a vn = ln (1 +x ) x b. On sait que 0 ln(1 ) lim 1 x x x    et quand x tend vers 0, n tend vers + . On a donc, 0 ln(1 ) lim lim 1 n x n x v x      c. On a : lim 1 n n v   et 1 lim x x e e   , par composition, lim n v n e e   de plus, ln n n v u n e e u   Finalement, lim n n u e   uploads/s3/ corrige-devoir-maison-maths-terminale-s.pdf