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1/7 UNIVERSITE SULTAN MOULAY SLIMANE FACULTE POLYDISCIPLINAIRE - BENI-MELLAL FI

1/7 UNIVERSITE SULTAN MOULAY SLIMANE FACULTE POLYDISCIPLINAIRE - BENI-MELLAL FILIERE : SEG-S2– ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2019/2020 TD de - Probabilités - SERIE N° 1 Corrigé de la série 1 des Travaux Dirigés Exercice 1 Lancement d’un dé de 6 faces 1- Les éléments de chaque ensemble : A : {6} ; B : {9} ; C : {2, 4, 6} ; D : {1, 3, 5} ; E : {1,2,3,4} ; F : {3,4,5,6} ; G :{1,2,3,4,5,6}= Ω 2- Les éléments de : C∩E = {2,4} ; D∩F = {3,5} ; C∩E∩F = {4} ; EυF = { 1,2,3,4,5,6} = Ω ; CυEυF={1,2,3,4,5,6} = Ω 3- Les événements qui forment une partition de Ω : Pour que des événements forment une partition d’un ensemble deux conditions doivent être satisfaites : a- les intersections entre les événements deux à deux sont égales à l’ensemble vide Ф b- l’union entre les événements composés forme l’ensemble fondamental Ω Les ensembles C et D forment une partition de Ω car elles respectent ces conditions : C∩D = Ф et CυD = Ω. Exercice 2 1- Si 10 étudiants sont candidats : On a 640 étudiants qui souhaitent constituer un comité de 4 étudiants. Il s’agit d’une combinaison car : 1234 = 4321 = 3214 = 1342. Avec n = 10 et p = 4. On peut donc former 210 comités restreints de 4 étudiants choisis parmi 10 candidats. 2- Une classe de 12 étudiants veut former un conseil composé de 3 membres : Avec A : Président ; B : Vice-président et C : Secrétaire. Ici l’ordre est très important avec n=12 et p= 3. Donc il s’agit d’un arrangement : 2/7 2-1 S’ils sont tous candidats : On peut former 1320 conseils à partir de 12 candidats. 2-2 Si seulement 7 sont candidats : Dans ce dernier cas on peut former 210 conseils à partir de 7 candidats. Exercice 3 1. Les numéros de téléphones portables commençant par 06 et 07 à constituer : 0 6 x x x x x x x x 0 7 x x x x x x x x Possibilités 10 possibilités 10 10 10 10 10 10 10 Ici l’ordre est très important. Il s’agit donc d’un arrangement avec répétition Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Card {Ω} = n = 10 et p = 8 numéros commençant par 06 - On aura la même chose pour les numéros qui commencent par 07. Donc on peut former 200.000.000 numéros de téléphone en tout. 2- La capacité du réseau de téléphone fixe qui commencent par 0523 : 0 5 2 3 X X X X X X Il s’agit d’arrangements avec répétition, n = 10 et p = 6 Donc : 1 millions de numéros est la capacité du réseau. 3/7 Exercice 4 Les codes à 4 caractères : les deux premiers sont des lettres et les deux derniers sont des chiffres. L L C C 26 possibilités 26 possibilités 10 possibilités 10 possibilités Car les lettres de l’alphabet sont 26. Et les chiffres vont de 0 à 9 donc 10 chiffres en tout. 1. Le nombre de codes : 26 x 26 x 10 x 10 = 67600 codes. 2- les mots à deux caractères à former : 1er caractère est une consonne et 2ème caractère est une voyelle : Consonne Voyelle 20 possibilités 6 possibilités On peut former 20 x 6 = 120 mots. Exercice 5 : 1- Former les mots de passe à 5 chiffres à partir de Ω. Il s’agit d’un arrangement avec répétition, car par exemple : 12456 ≠21456 sont deux mots de passe différents. 2- Les mots de passe à former à partir de tous les chiffres de Ω Avec Ω = {0 ;1 ;1 ;4 ;4 ;4 ;5 ;5 ;8 ;9} Il s’agit d’une Permutation avec répétition : mots de passe. Exercice 6 Il s’agit d’une disposition ordonnée puisque l’ordre des chevaux à l’arrivée est important et l’on choisit 3 chevaux (p=3) parmi n=7. 1- Le nombre total de tiercés possibles : Il s’agit d’un arrangement sans répétition (car le cheval qui arrive le 1er on ne va pas le remettre une deuxième fois dans la course). 4/7 2- Le nombre de tiercés possibles dans lesquels les 3 chevaux de tête sont dans l’ordre : 1er Tirage 2ème Tirage 3ème Tirage 1 seule façon de choisir le cheval qui arrivera le premier 1 seule façon de choisir celui qui arrivera deuxième 1 seule façon de choisir le 3ème Donc le nombre est de : 1 x 1 x 1 = 1 3- le nombre de tiercés possibles dans lesquels ils sont dans l’ordre ou dans le désordre : 1er Tirage 2ème Tirage 3ème Tirage 3 façons de choisir un cheval 2 façons de choisir le deuxième 1 seule façon de choisir le 3ème Donc on aura : 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cas possibles. 4- Dans le désordre : Dans ce cas de figure, il faut tout simplement retirer le cas où les chevaux sont dans l’ordre. On aura donc : 6-1= 5 cas possibles. Exercice 7 : Il s’agit d’une combinaison sans répétition : Une combinaison car les postes de travail sont identiques (il n’y a pas de hiérarchie comme dans l’exercice n°2 : Président ; vice-président ; secrétaire). Dans notre cas l’ordre n’est pas important. 5/7 6/7 7/7 uploads/s3/ corrige-td1 12 .pdf