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Devoir Surveill´ e de Math´ ematiques no 1 le samedi 14 Septembre 2019 - dur´ e

Devoir Surveill´ e de Math´ ematiques no 1 le samedi 14 Septembre 2019 - dur´ ee 3h. Exercice 1 : R´ esoudre les ´ equations et les in´ equations suivantes sur R : a) √10x −1 −√4x + 5 = 2. b) x6 −3x4 + 3x2 −1 = 27. c) x −4 < √2x −5. d) x2−x+1 x2+x+1 > x−5 x−9. Exercice 2 : D´ eterminer la valeur de v´ erit´ e des assertions suivantes : a) ∀a ∈Z, ∃b ∈Z, ∀c ∈Z, a + b = c. b) ∀a ∈Z, ∀c ∈Z, ∃b ∈Z, a + b = c. c) ∀x ∈R, x2 −3x + 2 ≥0 ⇒x ≥2. d) ∀n ∈N, (∃k1 ∈N, n = 3k1) ⇒(∃k2 ∈N, n = 6k2). e) ∀ε > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N, −ε < sin(n) n3 < ε. f) ∀a ∈Z, ∀c ∈Z, (a < c ⇒∃b ∈Z, a < b < c). Probl` eme I : Soient A, B ∈R∗. On consid` ere la suite r´ ecurrente (un)n≥0 d´ eﬁnie par : u0 = 0, u1 = 1 et pour tout n ∈N, un+2 = Aun+1 + Bun. On consid` ere le polynˆ ome P(X) = X2 −AX −B et on note ∆son discriminant. 1) On suppose que ∆= 0. a) Montrer que B = −(A/2)2. b) Montrer que pour tout n ∈N, un = n(A/2)n−1. 2) On suppose que ∆> 0. a) D´ eterminer les racines α1 > α2 de P en fonction de A et B. b) Montrer que pour tout n ∈N, un = (αn 1 −αn 2)/ √ ∆. c) En d´ eduire une expression explicite de la suite de Fibonacci (Fn)n≥0 d´ eﬁnie par : F0 = 0, F1 = 1 et pour tout n ∈N, Fn+2 = Fn+1 + Fn. 3) On suppose d´ esormais A = 2 et B = −2. a) D´ eterminer les racines complexes de P sous la forme trigonom´ etrique. b) Montrer que pour tout n ∈N, un = 2n/2 sin(nπ/4). N.Provost PCSI1 2019-2020 uploads/s3/ devoir-de-mathematiques-pcsi-1.pdf