Mathématiques discrètes, 1ère année Laurent Regnier 25 octobre 2010 2 Chapitre

Mathématiques discrètes, 1ère année Laurent Regnier 25 octobre 2010 2 Chapitre 1 Étudier les mathématiques Comment doit on apprendre les mathématiques ? Il n'y a évidemment pas une réponse unique mais voici quelques pistes (qui du reste ne sont pas propres aux mathématiques, mais valables pour toutes les disci- plines). Faire les exercices. Les mathématiques sont abstraites et di ciles. Il est très important de se familiariser avec les objets, les dé nitions, les démonstrations pour se les approprier et se tester soi-même : dominer les mathématiques et ne pas se laisser dominer. La technique la plus e cace pour cela est de faire des exercices. On en trouve toujours, dans le cours, dans les livres, dans les annales d'examens... Les exercices doivent être préparés, c'est à dire que l'on doit passer un certain temps à chercher la solution, mais il n'est pas nécessaire de la trouver toujours. Il est par contre extrêment utile de faire des erreurs et de les comprendre, c'est pourquoi les exercices doivent être discutés avec d'autres, les diérentes solutions trouvées doivent être comparées et corrigées. Ce cours est divisé en séances de cours magistral (souvent en amphi) et séances de TD (en groupes plus restreints). L'enseignant chargé de TD fournit chaque semaine la liste des exos à traiter pour la semaine suivante. Les exercices doivent tous avoir été préparés avant la séance, le TD consiste à discuter et corriger les solutions trouvées, à répondre aux éventuelles questions sur le cours, et à approfondir certains points du cours. Apprendre son cours. En mathématiques apprendre le cours est souvent synonyme de le comprendre. En eet lorsque l'on a bien compris on peut reconstruire tout le cours, même si on a tout oublié. Les formules trigonométriques sont un excellent exemple de cela : si on a bien compris la formule de Moivre eix = cos x + i sin x, on peut toutes les retrouver facilement. Il est donc rare que l'on doive apprendre par c÷ur. La manière la plus simple de comprendre son cours est de sortir de séance en ayant tout compris ! Pour cela il faut être concentré pendant le cours, les mathématiques comme toutes les disciplines de la pensée, demandent beaucoup de concentration (le cerveau étant l'organe du corps humain qui consomme le plus de calories, on peut considérer que la concentration en cours est un sport). Il est plus important de comprendre pendant le cours, que de prendre des notes. Donc si on commence à se sentir dépassé, on cesse de prendre des notes pour se concentrer sur ce que dit le ou la prof. On pourra toujours soit récupérer les notes d'un camarade, soit relire le poly, soit trouver un livre. Un principe important : ne jamais croire ce que dit le ou la prof, on ne croit que ce que l'on comprend. Ne pas hésiter à poser des questions en cours lorsque l'on commence à ne pas comprendre. Lorsque le cours est bien compris on peut passer directement aux exercices ; de toute façon on le relira en faisant les exos car il y a toujours des points que l'on a mal assimilés ou oubliés ; d'où l'importance de faire des exos. Autrement dit faire les exos est la 2ème méthode la plus e cace pour apprendre son cours. 3 Travailler à plusieurs. C'est une bonne manière de se motiver à travailler. Idéalement on travaille à 2 ou 3. Si on n'ose pas aller vers les autres, on peut demander au chargé de TD d'organiser des binômes. La troisième méthode la plus e cace pour apprendre son cours c'est de le refaire à un camarade. Si on a tout compris on trouve quelqu'un qui n'a rien compris et on lui explique tout (et réciproquement). C'est un exercice qui sera autant béné que à l'un qu'à l'autre. Le cas le plus fréquent toutefois est quand on n'a pas tout compris, mais pas rien non plus. Se mettre à deux ou trois est alors excellent car ce ne sont souvent pas les même choses sur lesquelles les uns et les autres butent. De même pour préparer les exos avant les séances de TD, le mieux est de les faire à plusieurs. D'abord ça motive. Même si on pense ne pas avoir besoin d'aide pour y arriver, il est excellent d'expliquer les solutions que l'on a trouvées à ses camarades. Et par contre il ne faut jamais croire que l'on est trop nul pour travailler avec d'autres. L'expérience montre que souvent un étudiant très fort s'associe avec un étudiant très faible, pour le plus grand béné ce des deux. Interagir avec les enseignants. Il faut savoir que les enseignants sont en général heureux que l'on pose des questions : cela signi e que l'on s'intéresse, cela leur donne un retour sur la manière dont leur cours est reçu, ça met de la vie... Par vocation un mathématicien aime parler de mathématiques donc si on lui en donne l'occasion il sera intarissable (trop peut-être). Donc ne pas hésiter à poser des questions, en cours, en TD et si vraiment on est trop timide on peut passer voir l'enseignant à la n du cours, ou tenter de le trouver dans son bureau hors des heures de cours, lui envoyer un mail, etc. 4 Chapitre 2 Le langage mathématique En mathématiques, après un raisonnement ou un calcul on se pose (presque) toujours deux questions : 1. a-t-on bien utilisé toutes les hypothèses du problème ? 2. ne pourrait-on pas améliorer le raisonnement ou le calcul en supprimant l'une des hypothèses ? Ou plus modestement, ne pourrait on pas reformuler certaines hypothèses de manière moins restrictive pour obtenir un raisonnement plus général ? Il arrive souvent que la deuxième question ait une réponse positive mais que cela ne soit pas facile à voir ; de très grands développements mathématiques ont découlé de cette seconde question, qui est tout à fait fondamentale. Exemple.  Les médiatrices d'un triangle rectangle se coupent en un seul point : le centre du cercle circonscrit.  C'est vrai mais l'hypothèse que le triangle est rectangle est inutile puisque les médiatrices de tout triangle se coupent au centre du cercle circonscrit. Cette hypothèse super ue peut même nous induire en erreur : par exemple on pourrait chercher (longtemps) à utiliser Pythagore. Lorsque l'on résoud un exercice et que l'on découvre à la n que l'une des hypothèses n'a servi à rien, il y a deux cas de gure : 1. on s'est trompé, l'hypothèse inutilisée était nécessaire et le calcul ou raisonnement est faux ; c'est le cas le plus probable ; 2. le concepteur de l'exercice s'est trompé, ou alors il a cherché à nous enduire d'horreur. Ça arrive. 2.1 Les objets mathématiques Les objets mathématiques sont abstraits, on ne peut pas les toucher. Parfois on peut les représenter par un dessin, par exemple en géométrie, mais il faut toujours faire attention car les dessins peuvent être trompeurs ; par exemple si on dessine un triangle sans faire attention, on a toutes les chances de tomber sur un triangle particulier (un triangle rectangle, ou isocèle). Si après on se e au dessin, on risque d'utiliser une propriété du triangle dessiné qui n'est pas une hypothèse du problème : si notre triangle semble rectangle sur le dessin on pourrait tenter de démontrer que deux médiatrices se coupent au centre d'un côté (ce qui n'est vrai que pour les triangles rectangles). Cela étant dit les dessins sont souvent d'une aide précieuse pour se gurer les objets mathématiques. Types d'objets mathématiques. Si on prend le mot objet en un sens su samment large, il y a beaucoup d'objets mathématiques (vraiment beaucoup). Pour s'y retrouver on les classi e en diérents types. Il est très important lorsque l'on a aaire à un énoncé mathématique, de savoir typer chacun des objets dont il est question. En particulier lorsque l'on compare deux objets, ils sont toujours de même type : dire que la 5 fonction x2 sur R est égale à l'ensemble des réels positifs n'a pas de sens ; il faut dire que la fonction x2 est à valeur dans les réels positifs. Voici les types d'objets les plus courants que l'on trouvera dans ce cours : Nombres : c'est le seul type simple, c'est à dire qui ne dépend d'aucun autre type. Il y a plusieurs types de nombres mais on peut toujours comparer deux nombres : les entiers naturels, 0, 1, 2, ... ; les entiers relatifs qui sont les naturels auxquels on ajoute leurs opposés -1, -2, ... ; les rationnels qui s'expriment par des fractions entre entiers relatifs ; les réels, les complexes. Ensembles : il en sera à nouveau question dans le chapitre suivant. Il s'agit d'un type complexe : un ensemble est toujours un ensemble de quelque chose, par exemple un ensemble de nombres, ou un ensemble de fonctions, voire même un ensemble... d'ensembles. On connait déjà plusieurs ensembles : l'ensemble des entiers naturels est noté N, des relatifs noté Z, des uploads/s3/ cours 3 .pdf

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Administrationalors fonction l'ensemble entiers exercice
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