Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 – DS2 [DS2.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008 Devoir surveill´ e de Science

1 – DS2 [DS2.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008 Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n ˚ 2 du 13-10-2007 — Dur´ ee : 4 heures — Probl` eme no 1 – ´ Etude d’une ligne biﬁlaire E3A PSI 2006 On ´ etudie une ligne biﬁlaire dont le mod` ele est repr´ esent´ e sur la ﬁgure 1. La ligne pr´ esente une capacit´ e lin´ eique C0, une inductance lin´ eique L0, une r´ esistance lin´ eique R0 et une conductance transverse lin´ eique G0. b b b b b b b L0dz R0dz C0dz G0dz v(z, t) v(z + dz, t) i(z + dz, t) i(z + dz, t) i(z, t) i(z, t) Fig. 1 – Mod´ elisation de la ligne biﬁlaire A. ´ Etude g´ en´ erale 1. ´ Etablir les ´ equations exprimant les d´ eriv´ ees partielles ∂v(z, t) ∂z et ∂i(z, t) ∂z en fonction de v(z, t), i(z, t), ∂v(z, t) ∂t , ∂i(z, t) ∂t , R0, G0, L0 et C0. 2. En d´ eduire une ´ equation de propagation pour la tension v(z, t). ` A quelle ´ equation l’intensit´ e i(z, t) satisfait- elle ? Consid´ erons une onde v(z, t) = v0 exp j(ωt −kz) se propageant sur la ligne, k est une grandeur complexe telle que k = k′ + jk′′ o` u k′ et k′′ sont des nombres r´ eels. 3. D´ eterminer la relation de dispersion liant k ` a ω. 4. D´ eﬁnir la vitesse de phase vϕ et une grandeur δ caract´ eristique de l’att´ enuation en fonction de k′ et k′′. 5. Pour le cas o` u R0 ≪L0ω et G0 ≪C0ω, donner l’expression de vϕ et de δ ` a l’ordre le plus bas en 1 ω . ` A quelle condition sur R0, L0, G0 et C0, un signal quelconque n’est-il pas d´ eform´ e par la ligne apr` es transmission ? Y a-t-il dispersion dans ce cas ? Dans toute la suite, la ligne est suppos´ ee id´ eale, R0 = 0 et G0 = 0. 6. Montrer que l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles relative ` a la tension s’´ ecrit : ∂2v ∂t2 = u2 ∂2v ∂z2 o` u u est un coeﬃcient que l’on explicitera. Quelle est la dimension de u ? Quelle est la forme g´ en´ erale des solutions de cette ´ equation ? 7. Retrouver que l’intensit´ e i(z, t) v´ eriﬁe une ´ equation de propagation. Il sera admis que les solutions g´ en´ erales s’´ ecrivent sous la forme : v(z, t) = v1(t −z c ) + v2(t + z c ) et i(z, t) = i1(t −z c ) + i2(t + z c ) 8. Interpr´ eter les signiﬁcations physiques des grandeurs d’indice 1 et 2. 9. Montrer les relations suivantes :        v1(t −z c ) = Rci1(t −z c ) v2(t + z c ) = −Rci2(t + z c ) Rc est appel´ ee r´ esistance caract´ eristique de la ligne. Exprimer Rc en fonction de L0 et C0. D´ eterminer num´ eri- quement u et Rc avec L0 = 0, 318 mH · km−1 et C0 = 509 nF · km−1. Conclusions ? Un condensateur de capacit´ e C en s´ erie avec une bobine d’inductance propre L et de r´ esistance interne n´ egligeable est connect´ e sur la ligne biﬁlaire inﬁnie par l’interm´ ediaire d’un interrupteur K initialement ouvert, voir la ﬁgure 2. Le condensateur est charg´ e sous la tension U, puis ` a l’instant t = 0, K est ferm´ e. JR Seigne Fauriel St Etienne Sciences Physiques MP 2007-2008 DS2 [DS2.tex] – 2 b b C b b L K z = 0 z = ∞ vc(t) ligne biﬁlaire Fig. 2 – Liaison avec un circuit LC 10. Expliquer pourquoi dans le cas de la ligne inﬁnie i2 = 0. En d´ eduire que le circuit est ´ equivalent ` a un circuit (R, L, C) s´ erie pour lequel on exprimera R. 11. ´ Etablir que la tension aux bornes du condensateur vc(t) satisfait ` a une ´ equation diﬀ´ erentielle qui sera exprim´ ee sous la forme : d2vc dt2 + 2mω0 dvc dt + ω2 0vc = 0 Pr´ eciser l’expression de la pulsation caract´ eristique ω0 et du facteur d’amortissement r´ eduit m. 12. R´ esoudre cette ´ equation dans le cas o` u m < 1. Tracer l’allure de la tension vc(t) pour m = 10−2. ` A partir de quel temps caract´ eristique tc, la tension vc(t) est-elle inf´ erieure ` a U/100 ? 13. La ﬁgure 3 repr´ esente v(z, tc) pour 0 < z < ctc/4. Expliquer cette courbe et pr´ eciser l’ordre de grandeur de la valeur maximale. En d´ eduire l’allure de v(z, tc) pour 0 < z < 2ctc. t v(z, tc) b ctc 4 0 Fig. 3 – ´ Evolution de v(z, tc) 14. Proposer un bilan ´ energ´ etique. 15. Que se passe-t-il si la ligne biﬁlaire n’est pas inﬁnie ? Que pourrait-on observer en pratique ? B. Propagation de signaux sinuso¨ ıdaux La ligne biﬁlaire de longueur ℓest aliment´ ee en entr´ ee par un g´ en´ erateur de tension de r´ esistance interne Rg, voir la ﬁgure 4. Elle est branch´ ee en sortie sur une r´ esistance de charge Ru. Dans cette partie le g´ en´ erateur de tension impose un r´ egime sinuso¨ ıdal forc´ e de pulsation ω dans la ligne biﬁlaire. Les grandeurs v1, v2, i1 et i2 introduites dans la partie pr´ ec´ edente deviennent des fonctions sinuso¨ ıdales d´ ependant de ω(t−z/c) et ω(t+z/c). Les grandeurs ` a l’entr´ ee de la ligne sont not´ ees avec l’indice e et celles ` a la sortie avec l’indice s comme indiqu´ e ci-dessous : ve(t) = v(0, t), vs(t) = v(ℓ, t), ie(t) = i(0, t), is(t) = i(ℓ, t) En utilisant la notation complexe et sachant que k = ω/c, il vient alors : v1 = V 10 exp j(ωt −kz), v2 = V 20 exp j(ωt + kz), i1 = V 10 Rc exp j(ωt −kz), i2 = −V 20 Rc exp j(ωt + kz) JR Seigne Fauriel St Etienne 3 – DS2 [DS2.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008 o` u V 10 et V 20 sont des nombres complexes constants. Les amplitudes complexes V (z) et I(z) de v(z, t) et i(z, t) seront utilis´ ees telles que :    V (z) = V 10 exp −jkz + V 20 exp jkz I(z) = V 10 Rc exp −jkz −V 20 Rc exp jkz La tension et l’intensit´ e, ` a l’entr´ ee et ` a la sortie de la ligne, seront not´ ees : V (0) = V e, I(0) = Ie, V (ℓ) = V s, I(ℓ) = Is b b e b b Rg ie(t) z = 0 z = ℓ ve(t) ligne biﬁlaire b b Ru vs(t) is(t) Fig. 4 – Liaisons avec un g´ en´ erateur et avec r´ esistance d’utilisation 16. En ´ eliminant V 10 et V 20, d´ eterminer les deux fonctions f et g telles que :    V e = f(kℓ)V s + jRcg(kℓ)Is Ie = j g(kℓ) Rc V s + f(kℓ)Is 17. En d´ eduire l’imp´ edance d’entr´ ee Ze = V e/Ie en fonction de Ru, Rc, k et ℓ. Que vaut Ze dans le cas particulier o` u Ru = Rc ? Interpr´ eter physiquement. C. Propagation de signaux impulsionnels Comme dans la partie pr´ ec´ edente, le g´ en´ erateur de tension est mod´ elis´ e par une force ´ electromotrice e(t) en s´ erie avec une r´ esistance Rg (voir la ﬁgure 4) telle que pour t < 0, e(t) = 0 et pour t ≥0, e(t) = E. 18. En ´ ecrivant quatre relations en z = ℓ, ` a savoir : – une relation [Ra] entre vs(t), Ru et is(t), – une relation [Rb] entre vs(t), v1(t −ℓ/c) et v2(t + ℓ/c), – une relation [Rc] entre is(t), i1(t −ℓ/c) et i2(t + ℓ/c), – une relation [Rd] entre is(t), v1(t −ℓ/c), v2(t + ℓ/c) et Rc, montrer que v2(t + ℓ/c) = αv1(t −ℓ/c) pour t ≥ℓ/c o` u α est une constante ` a d´ eterminer. En d´ eduire que v2(t) = αv1(t −2ℓ/c). Quelle est la signiﬁcation physique de α ? Calculer α pour Ru = 0, Ru = Rc et Ru = ∞. 19. De mˆ eme en ´ ecrivant quatre relations en z = 0, ` a savoir : – une relation [Re] entre ve(t), E, Rg et ie(t), – une relation [Rf] entre ve(t), v1(t) et v2(t), – une relation [Rg] entre ie(t), i1(t) et i2(t), – une relation [Rh] entre ie(t), v1(t), v2(t) et Rc, montrer que v1(t) = E/2 pour t ≥0 et pour Rg = Rc. 20. Pour Rg = Rc, uploads/s3/ ds2-electro-optique-pdf.pdf