École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies Mathématiques de base I

École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies Mathématiques de base I | Série d’exercices №3 : Généralités sur les fonctions d’une variable réelle Niveau : 1ère année Année universitaire : 2020/2021 Exercice 1 Simplifier les expressions suivantes lorsqu’elles ont un sens : 1. argch h1 2  x + 1 x i 3. sh argth(x)  2. argsh x2 −1 2x  4. arctan(ex) −arctan h th x 2 i Exercice 2 Résoudre dans R les deux équations suivantes : 1. ch(x) = 2 2. argsh(x) + argch(x) = 1 Exercice 3 Calculer les limites suivantes si elles existent : 1. lim x→+∞2ch2(x) −sh(2x) 2. lim x→−∞e2x 2ch2(x) −sh(2x)  3. lim x→+∞ 2ch2(x) −sh(2x) x −ln(ch(x)) −ln(2) Exercice 4 1. Soit f la fonction définie par f(x) = arcsin 1 x  + arccos 1 x  · (a) Déterminer le domaine de définition de f. (b) Déterminer le domaine de dérivabilité de f. (c) Montrer que la fonction f est constante sur son domaine de définition. 2. Soit g la fonction définie par g(x) = 2 arctan √ 2x2 −1  + f(2x) (a) Déterminer le domaine de définition de g. (b) Etudier la variation de g. 1 (c) En déduire que l’équation suivante admet deux solutions dans R : arctan √ 2x2 −1  = 3π 8 · Exercice 5 Soit la fonction f définie par f(x) = xsh( 1 x) 1. Déterminer le domaine de définition de f, noté Df. 2. Étudier la parité de f. 3. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 4. Montrer que f est dérivable sur Df, et que f ′(x) = ch  1 x h th  1 x  −1 x i 5. Montrer que pour tout y ≥0, th(y) ≤y. 6. En utilisant les questions 4 et 5, dresser le tableau de variation de f. 7. Montrer que f est bijective de sur ]0, +∞[ sur f(]0, +∞[). 2 uploads/s3/ serie-n03.pdf

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