Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI CALCULS DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRAL

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI CALCULS DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES Ce chapitre vise à renforcer votre pratique du calcul intégral au moyen de révisions ciblées et grâce à deux nouveautés, l’intégration par parties et le changement de variable. Le point de vue adopté n’est pas théorique. Nous définirons proprement la notion d’intégrale et nous démontrerons le théorème fondamental du calcul intégral sur lequel ce chapitre repose au chapitre « Intégration sur un segment » en fin d’année. Dans tout ce chapitre, K est l’un des ensembles R ou C et I et J sont des intervalles. 1 CALCULS SIMPLES DE PRIMITIVES Définition (Primitive) Soit f : I −→K une fonction. On dit qu’une fonction F : I −→K est UNE primitive de f sur I si F est dérivable sur I de dérivée f . Exemple La fonction x 7−→x2 2 est UNE primitive de x 7−→x sur R et Arctan est UNE primitive de x 7−→ 1 1 + x2 sur R. Théorème (« Unicité » des primitives à constante additive près) Soit f : I −→K une fonction. On suppose que f possède une primitive F : I −→K. Les primitives de f sur I à valeurs dans K sont alors toutes les fonctions F + λ, λ décrivant K. $ ATTENTION ! $ Il n’existe jamais une seule primitive, on ne dit jamais « la » primitive mais UNE primitive. Il peut ne pas en exister, mais s’il en existe, il en existe une infinité et elles sont toutes égales à constante additive près. Démonstration Pour tout e F ∈D(I,K) : e F est une primitive de f ⇐⇒ e F ′ = f ⇐⇒ e F ′ = F ′ ⇐⇒ e F −F ′ = 0 ⇐⇒ e F −F est constante ⇐⇒ ∃λ ∈K/ e F = F + λ. ■ $ ATTENTION ! $ Les fonctions que l’on manipule couramment sont un empilement de fonctions usuelles liées entre elles par des additions, des multiplications, des passages à l’inverse et des compositions. Vous savez toutes les dériver car vous savez dériver les fonctions usuelles et disposez des formules de dérivation d’une somme, d’un produit, d’un inverse et d’une composée. La primitivation des fonctions est autrement plus difficile : — vous savez primitiver la fonction x 7−→x, mais pour primitiver son inverse x 7−→1 x , il a fallu qu’on vous introduise une nouvelle fonction usuelle, la fonction logarithme, — vous savez primitiver la fonction x 7−→1 + x2, mais pour primitiver son inverse x 7−→ 1 1 + x2 , il a fallu qu’on vous introduise une nouvelle fonction usuelle, la fonction arctangente. On ne peut pas dire pourtant que les fonctions x 7−→1 x et x 7−→ 1 1 + x2 soient compliquées ! Le problème de la primitivation, c’est qu’on ne peut pas primitiver explicitement toutes les fonctions qu’on utilise couramment. On peut montrer — mais c’est difficile — que les primitives d’une fonction simple comme x 7−→e−x2 ne peuvent en aucune manière être écrites explicitement comme un empilement de fonctions usuelles — à moins bien sûr de considérer une telle primitive comme nouvelle fonction usuelle ! On retiendra notamment de ces remarques la mise en garde suivante : En général, même quand on sait primitiver deux fonctions, on NE sait PAS primitiver leur PRODUIT, leur QUOTIENT, leur COMPOSÉE. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI  En pratique  La mise en garde précédente ne signifie heureusement pas qu’on ne sait rien faire. En particulier, toute fonction de la forme f ′ × g′ ◦f admet g ◦f pour primitive et on attend de vous que vous sachiez repérer une telle forme. Mentionnons rapidement quelques cas très courants : u′eu se primitive en eu, u′ u en ln|u|, u′uα (α ̸= −1) en uα+1 α + 1, u′ cosu en sinu, u′ 1 + u2 en Arctan u, etc. Si F est une primitive de f , alors pour tout a ∈C∗et b ∈C, x 7−→F(ax + b) a est une primitive de x 7−→f (ax + b). Exemple La fonction x 7−→ sin x 5 −3cos x admet x 7−→1 3 ln 5 −3cos x  pour primitive sur R, la fonction x 7−→e px px admet x 7−→2 e px pour primitive sur R∗ + et la fonction x 7−→ 1 4x2 + 1 admet x 7−→1 2 Arctan(2x) pour primitive sur R.  En pratique  Le programme exige que vous sachiez primitiver les fonctions de la forme x 7−→ 1 ax2 + bx + c avec a, b, c ∈R, a ̸= 0 et b2 −4ac < 0 — discriminant négatif, le dénominateur ne s’annule pas sur R. C’est très simple, on écrit « ax2 + bx + c » sous FORME CANONIQUE, on fait apparaître la dérivée d’arctangente et enfin on primitive. Il est ici assez utile de savoir que : Pour tout a > 0, x 7−→1 a Arctan x a est une primitive de x 7−→ 1 x2 + a2 . Exemple La fonction x 7−→ 1 3x2 −x + 1 admet x 7−→ 2 p 11 Arctan 6x −1 p 11 pour primitive sur R. Démonstration Pour tout x ∈R : 1 3x2 −x + 1 = 1 3× 1 x2 −x 3 + 1 3 = 1 3× 1  x −1 6 ‹2 + 11 36 = 1 3× 1  x −1 6 ‹2 + p 11 6 2 , donc x 7−→ 1 3x2 −x + 1 admet pour primitive x 7−→1 3 × 6 p 11 Arctan  6 p 11  x −1 6 ‹‹ = 2 p 11 Arctan 6x −1 p 11 .  En pratique  On a souvent besoin de primitiver les fonctions de la forme x 7−→eax cos(bx) et x 7−→eax sin(bx) avec a, b ∈R∗. C’est très simple. Pour tout x ∈R : eax cos(bx) = Re € e(a+ib)xŠ . Or x 7−→e(a+ib)x admet x 7−→e(a+ib)x a + ib pour primitive, donc x 7−→eax cos(bx) admet pour primitive : x 7−→Re  e(a+ib)x a + ib  = eax a2 + b2 Re €cos(bx) + isin(bx)  × (a −ib) Š = eax a2 + b2 € a cos(bx) + b sin(bx) Š .  En pratique  Autre technique bien utile, la LINÉARISATION. Grâce à elle, nous savons calculer toutes les primitives de fonctions telles que x 7−→sin2 x cos3(4x) — produits de sinus et de cosinus.  En pratique  Pour finir, on primitive les fractions rationnelles en primitivant leur DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES. Nous nous contenterons de calculs simples à ce stade, conformes à l’esprit du petit chapitre « Introduction à la décomposition en éléments simples ». Exemple La fonction x 7−→ 1 x x2 + 1  admet x 7−→ln |x| p x2 + 1 pour primitive sur R∗. Démonstration • Forme de la décomposition en éléments simples : La fraction 1 X X 2 + 1  a une partie entière nulle, donc pour certains a, b, c ∈R : Æ 1 X X 2 + 1  = a X + bX + c X 2 + 1 . • Calcul de a : On multiplie Æ par X puis on évalue en 0 : a = 1. • Calcul de b : On multiplie Æ par X, puis on évalue en un réel x qu’on fait tendre vers +∞: 0 = a + b, donc : b = −1. • Calcul de c : On évalue Æ en 1 : 1 2 = a + b + c 2 , donc : c = 0. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI • Primitivation : Nous venons d’établir que : 1 X X 2 + 1  = 1 X − X X 2 + 1. La fonction x 7−→ 1 x x2 + 1  admet ainsi comme voulu x 7−→ln|x| −1 2 ln x2 + 1  = ln |x| p x2 + 1 pour primitive sur R∗. 2 LIEN ENTRE LES NOTIONS DE PRIMITIVE ET D’INTÉGRALE Définition (Fonction complexe continue) Soit f : I −→C une fonction. On dit que f est continue sur I si Re(f ) et Im(f ) le sont. L’ensemble des fonctions complexes continues sur I est noté C (I,C). L’intégrale d’une fonction continue vous a été définie en Terminale comme une aire ALGÉBRIQUE sous la courbe — ce qui veut dire que les portions de la courbe situées SOUS l’axe des abscisses contribuent négativement au calcul de l’aire. Cette définition est totalement bancale car nous sommes au fond bien incapables de définir la notion d’aire, mais nous nous contenterons de cette approche pour le moment. L’intégrale sera définie proprement plus tard au chapitre « Intégration sur un segment ». Définition (Intégrale sur un segment d’une fonction complexe continue) Soient f ∈C (I,C) et a, b ∈I. On appelle intégrale de f de a à b le nombre complexe Z b a f (t) dt = uploads/s3/ cours-calculs-de-primitives-et-d-x27-integrales.pdf

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