Fonctions logarithmes TSTI2D I - Fonction logarithme n´ ep´ erien Th´ eor` eme

Fonctions logarithmes TSTI2D I - Fonction logarithme n´ ep´ erien Th´ eor` eme La fonction logarithme n´ ep´ erien, not´ ee ln, est la primitive de la fonction inverse x 7→1 x, d´ efinie sur ]0; +∞[ qui s’annule en 1. En d’autres termes, on a pour cette fonction ln, — ln(1) = 0 — Pour tout r´ eel x > 0, ln′(x) = 1 x Corollaire Soit I un intervalle de I R, et u une fonction strictement positive et d´ erivable sur I, alors la fonction f : x 7→ln [u(x)] est d´ erivable sur I avec, pout tout x de I, f ′(x) = u′(x) u(x) . Exemples : — Sur ]0; +∞[, f : x 7→ln(2x) est de la forme f = ln(u) avec u(x) = 2x donc u′(x) = 2 et alors f ′(x) = 2 2x = 1 x — Sur ]2; +∞[, f : x 7→ln(x −2) est de la forme f = ln(u) avec u(x) = x −2 donc u′(x) = 1 et alors f ′(x) = 1 x −2 — Sur I R, f : x 7→ln(x2 + 1) est de la forme f = ln(u) avec u(x) = x2 + 1 donc u′(x) = 2x et alors f ′(x) = 2x x2 + 1 Exercice 1 D´ eterminer les ´ equations des tangentes ` a la courbe repr´ esentative du logarithme n´ ep´ erien aux points d’abscisses 1 2, 1 et 2. Tracer ces tangentes et une allure possible de la courbe du logarithme n´ ep´ erien. Exercice 2 Soit la fonction f d´ efinie sur I R par f(x) = ln (2x2 + 2). 1. D´ eterminer les ´ equations des tangentes ` a Cf aux points d’abscisses −1, 0 et 1. 2. ` A l’aide de la calculatrice, compl´ eter le tableau de valeurs : x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 f(x) 3. Placer les points de Cf corresponds aux valeurs pr´ ec´ edentes, les tangentes ´ etudi´ ees pr´ ec´ edemment, puis l’allure de Cf. Exercice 3 Calculer la fonction d´ eriv´ ee des fonctions suivantes : a) f(x) = x −2 −ln(x) b) f(x) = x ln(x) c) f(x) = ln(x) x d) f(x) = (ln(x))2 e) f(x) = (x + 1) ln(x) −x f) f(x) = ln x + 3 2 −x  g) f(x) = 0, 2x + 3 −2, 6 ln(x + 2) h) f(x) = 1 2x2 + 1 −ln(x) i) f(x) = 1 x + ln(x) x j) f(x) = (ln(x))5 k) f(x) = ln(x) x + 1 l) f(x) = 3 ln(x) + 1 ln(x) Exercice 4 Soit la fonction f d´ efinie et d´ erivable sur ]0; +∞[ par f(x) = 2 ln(x) + 4 x −5. Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions logarithmes - TSTI2D - 1/7 1. a) D´ eterminer graphiquement, ` a l’aide de la calculatrice, lim x→+∞f(x). b) On admet que lim x→0 f(x) = +∞. Que peut-on en d´ eduire graphiquement ? 2. a) Calculer f ′(x) et v´ erifier que, pour tout x > 0, f ′(x) = 2x −4 x2 . b) ´ Etudier le signe de f ′(x) sur ]0; +∞[, et en d´ eduire le sens de variation de f. 3. Donner le nombre de solutions de l’´ equation f(x) = 0, puis en donner une valeur approch´ ee ` a 10−1 pr` es. Exercice 5 Soit la fonction f d´ efinie sur I = i1 2; +∞[ par f(x) = 2 2x −1. 1. D´ eterminer une primitive F de f sur I. 2. D´ eterminer la primitive G de f sur I qui s’annule en 5. Exercice 6 Donner l’expression d’une primitive F des fonctions d´ efinies par les expressions suivantes : a) f(x) = 6x 3x2 + 3 b) f(x) = 2 2x −3 c) f(x) = 1 2x −3 d) f(x) = 24x2 −4x3 + 2 e) f(x) = 2x −1 x2 −x + 2 f) f(x) = 3x + 4 + 1 2x + 4 g) f(x) = 1 + 1 x −3 + 2 x + 2 h) f(x) = −5 x + 3x2 + 2 x3 + 2x − 2x (x2 + 3)2 II - Propri´ et´ es alg´ ebriques du logarithme D’apr` es la propri´ et´ e pr´ ec´ edente, f : x 7→ln(ax) a la mˆ eme d´ eriv´ ee que la fonction ln : f ′(x) = a ax = 1 x. f et ln sont donc deux primitives de la fonction inverse x 7→1 x et donc, il existe une constante telle que, pour tout x r´ eel, f(x) = ln(x) + k. Comme f(1) = ln(a × 1) = ln(a), et f(x) = ln(1) + k = 0 + k = k, on a donc k = ln(a) et alors f(x) = ln(ax) = ln(x) + ln(a) Propri´ et´ e Pour tous nombres r´ eels a et b strictement positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b). En prenant b = 1 a, on a ln  a × 1 a  = ln(1) = 0 et par ailleurs ln  a × 1 a  = ln(a) + ln 1 a  = 0, d’o` u Propri´ et´ e Pour tout r´ eel a > 0, ln 1 a  = −ln(a). En ´ ecrivant alors le quotient a b comme le produit a × 1 b, on obtient maintenant ln a b  = ln  a × 1 b  = ln(a) + ln 1 b  = ln(a) −ln(b) Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions logarithmes - TSTI2D - 2/7 Propri´ et´ e Pour tous r´ eels a et b strictement positifs, ln a b  = ln(a) −ln(b). Comme a2 = a × a et plus g´ en´ eralement pour un entier naturel n non nul, an = a × a × · · · × a, on a aussi une expression du logarithme de la puissance d’un nombre : ln (a2) = ln (a × a) = ln(a) + ln(a) = 2 ln(a) ln (an) = ln (a × a × · · · × a) = ln(a) + ln(a) + · · · + ln(a) = n ln(a) Comme de plus, a−n = 1 an , on a aussi ln (a−n) = ln  1 an  = −ln (an) = −n ln(a), et ainsi Propri´ et´ e Pour tout r´ eel a > 0 et tout entier n relatif, ln (an) = n ln(a). Par exemple, ln (35) = 5 ln(3), ln (4−2) = −2 ln(4) et bien sˆ ur. . .ln (31) = ln(3) = 1 ln(3) et ln (30) = ln(1) = 0 = 0 ln(3). Avec ces propri´ et´ es sur les puissances, on a aussi, pour les racines, avec a > 0, ln(a) = ln √a 2 = 2 ln √a  et donc Propri´ et´ e Pour tout r´ eel a > 0, ln (√a) = 1 2 ln (a). Comme pour tout entier n, ln (an) = n ln(a), on ´ ecrit de mˆ eme ` a partir de la relation pr´ ec´ edente, √a = a 1 2. Exercice 7 Exprimer, en fonction de ln(2) et ln(5) les valeurs de : a) ln(10) b) ln(25) c) ln(16) d) ln(400) e) ln  2 25  f) ln 5 8  g) ln(0, 4) h) ln( √ 5) i) ln(2 √ 2) k) ln(5 √ 10) III - ´ Etude de la fonction logarithme n´ ep´ erien 1) Sens de variation Par d´ efinition, la fonction logarithme n´ ep´ erien v´ erifie, pour tout x > 0, ln′(x) = 1 x > 0, ce qui montre qu’elle est strictement croissante sur ]0; +∞[ : Propri´ et´ e x 0 +∞ ln′(x) + ln Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions logarithmes - TSTI2D - 3/7 Corollaire — Comme de plus, ln(1) = 0, on remarque alors que ln(x) < 0 ⇐ ⇒ x ∈]0; 1[ et ln(x) > 0 ⇐ ⇒x ∈]1; +∞[ x 0 1 +∞ ln(x) | | − 0 | + — Comme ln est strictement croissante sur ]0; +∞[, pour tous r´ eels a et b strictement positifs, — ln(a) = ln(b) ⇐ ⇒a = b — ln(a) ⩽ln(b) ⇐ ⇒a ⩽b — ln(a) < ln(b) ⇐ ⇒a < b Exemple 1 : On consid` ere l’´ equation (E) : ln(x + 3) + ln(x) = 0. On cherche ` a se ramener ` a une ´ equation de la forme ln(a) = ln(b) ⇐ ⇒a = b. (E) ⇐ ⇒ln(x(x + 3)) = ln(1) ⇐ ⇒x(x + 3) = 1 ⇐ ⇒x2 + 3x −1 = 0. Cette ´ equation du second degr´ e a pour discriminant ∆= 32 −4 × 1 × (−1) = 13 > 0 et admet donc deux solutions r´ eelles x1 = −3 − √ 13 2 et x2 = −3 + √ 13 2 . Exemple 2 : On consid` ere l’in´ equation (I) : uploads/s3/ cours-logarithme.pdf

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Administrationln(x) logarithme fonction ln(a) exercice
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