Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Classe de première S Corrigé de l’interrogation écrite du vendredi 12 janvier 2

Classe de première S Corrigé de l’interrogation écrite du vendredi 12 janvier 2018 CORRIGÉ DE L’INTERROGATION ÉCRITE DE MATHÉMATIQUES Exercice 1 (6 points) : Restitution des connaissances Pré-requis : Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. . uv est dérivable sur I et (uv)' =u' v+uv ' . . v ne s’annulant pas sur I, 1 v est dérivable sur I et ( 1 v) ' =−v ' v 2 . 1. a. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. Rappeler ce que signifie « f est dérivable en a ». b. Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f (x)=−3 x√x . Montrer que f est dérivable en 0 et déterminer le nombre dérivé de f en 0. 2. Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. a. Montrer que la fonction f =u+v est dérivable sur I et que f ' =u' +v ' . b. Démontrer que si v ne s’annule pas sur I, alors u v est dérivable sur I et ( u v) ' =u' v−uv ' v 2 1. a. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. Soit h un réel non nul tel que a+h ∈ I. Dire que « f est dérivable en a » signifie que l’accroissement moyen de f entre a et a+h admet une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f en a. On note : lim h→0 f (a+h)−f (a) h = f ' (a) b. ∀x ∈ [0;+∞[ , f (x)=−3 x√x Soit h un réel strictement positif. f (h)−f (0) h =−3h√h h =−3√h lim h→0 f (h)−f (0) h =0 Donc f est dérivable en 0 et f ' (0)=0 . 2. Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. a. Soit a ∈ I et h non nul tel que a+h ∈ I f (a+h)−f (a) h =(u(a+h)+v(a+h))−(u(a)+v(a)) h =u(a+h)+v(a+h)−u(a)−v(a) h =(u(a+h)−u(a))+(v(a+h)−v(a)) h =u(a+h)−u(a) h + v(a+h)−v(a) h Or u et v sont dérivables sur I. Donc lim h→0 u(a+h)−u(a) h =u' (a) et lim h→0 v(a+h)−v(a) h =v' (a) . On a donc lim h→0 f (a+h)−f (a) h =u' (a)+v' (a) f est dérivable en a est f ' (a)=u' (a)+v ' (a) . a étant quelconque dans I, f est dérivable sur I et f ' =u' +v ' . 1/5 Classe de première S Corrigé de l’interrogation écrite du vendredi 12 janvier 2018 b. u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Supposons de plus que v ne s’annule pas sur I. u v =u×1 v D’après le pré-requis, v étant dérivable et se s’annulant pas sur I, 1 v est dérivable sur I et ( 1 v) ' =−v ' v 2 . Toujours d’après le pré-requis, u et 1 v étant dérivables sur I, u×1 v (autrement dit u v ) est dérivable sur I et (u×1 v) ' =u'×( 1 v)+u×( 1 v) ' . On a donc : ( u v) ' =u' v +u×(−v' v 2) ( u v) ' =u' v v 2 −uv ' v 2 ( u v) ' =u' v−uv ' v 2 2/5 Classe de première S Corrigé de l’interrogation écrite du vendredi 12 janvier 2018 Exercice 2 (4 points) : Voici la représentation graphique Cf d’une fonction f définie et dérivable sur ℝ. 1. En justifiant, préciser les valeurs de f (−5) , f (2) , f ' (−5) et f ' (2) . 2. a. Recopier et compléter le tableau suivant, sans justifier : x −4 −2 −1 4 f (x) f ' (x) b. Il n’est pas possible de donner une valeur exacte de f ' (7) . Mais il est possible de connaître son signe. Le préciser en justifiant la réponse. 1. (−5; 5 2) ∈ C f donc f (−5)=5 2 . (2; 1 2) ∈ C f donc f (2)=1 2 . La tangente à C f au point d’abscisse −5 a pour coefficient directeur 4 3 donc f ' (−5)=4 3 . La tangente à C f au point d’abscisse 2 est horizontale donc f ' (2)=0 . 2. a. x −4 −2 −1 4 f (x) 7 2 1 2 −3 2 −3 2 f ' (x) 0 −6 0 −3 4 b. Au point d’abscisse −7 la courbe C f est « en train de descendre » et la tangente à la courbe eb ce point a un coefficient directeur négatif. Donc f ' (−7)<0 . 3/5 Classe de première S Corrigé de l’interrogation écrite du vendredi 12 janvier 2018 Exercice 3 (8 points) : Pour chacune des fonctions suivantes, donner, sans justifier, son ensemble de définition df , ainsi que les intervalles sur lesquels elle est dérivable. Puis déterminer sa fonction dérivée, en simplifiant au mieux l’expression obtenue. 1. f (x)=4 x 3−5 x 2+3 x−1 2. f (x)= 3 x 3−1 x 3. f (x)=−4 x+1 3 x−5 4. f (x)=4 x−1+ 1 4−x 5. f (x)= x 2−4 x+8 2x−5 6. f (x)=√x(2 x+1) 1. df = ℝ f est dérivable sur ℝ. ∀x ∈ ℝ, f ' (x)=12 x 2−10 x+3 2. df = ℝ* f est dérivable sur ]−∞; 0[ et sur ]0;+∞[ . ∀x ∈ ℝ*, f ' (x)=−9 x 4+ 1 x 2 3. df = ]−∞; 5 3[∪] 5 3 ;+∞[ f est dérivable sur ]−∞; 5 3[ et sur ] 5 3 ;+∞[ . f =u v avec u(x)=−4 x+1 et v(x)=3 x−5 u'(x)=−4 et v '(x)=3 f '=u' v−uv ' v 2 ∀x ≠5 3 , f ' (x)=−4(3 x−5)−3(−4 x+1) (3 x−5) 2 f ' (x)=−12x+20+12 x−3 (3x−5) 2 f ' (x)= 17 (3x−5) 2 4. df = ]−∞; 4[ ∪]4;+∞[ f est dérivable sur ]−∞; 4[ et sur ]4;+∞[ . f =u+ 1 v avec u(x)=4 x−1 et v( x)=4−x u' ( x)=4 et v ' (x)=−1 4/5 Classe de première S Corrigé de l’interrogation écrite du vendredi 12 janvier 2018 f ' =u'−v ' v 2 ∀ x ∈ ]−∞; 4[ ∪]4;+∞[ , f ' ( x)=4− −1 (4−x) 2 f ' ( x)=4+ 1 (4−x) 2 5. df = ]−∞; 5 2[∪] 5 2 ;+∞[ f est dérivable sur ]−∞; 5 2[ et sur ] 5 2 ;+∞[ . f =u v avec u(x)=x 2−4 x+8 et v(x)=2 x−5 u'(x)=2 x−4 et v '(x)=2 f '=u' v−uv ' v 2 ∀x ≠5 2 , f ' (x)=(2x−4)(2 x−5)−2(x 2−4 x+8) (2 x−5) 2 f ' (x)=4 x 2−18x+20−2x 2+8 x−16 (2 x−5) 2 f ' (x)=2 x 2−10x+4 (2 x−5) 2 6. df = ℝ+ f est dérivable sur ]0;+∞[ . f =uv avec u(x)=√x et v(x)=2 x+1 u'(x)= 1 2√x et v '(x)=2 f '=u' v+uv ' ∀x>0 , f ' (x)=2 x+1 2√x +2√x f ' (x)=2 x+1+4 x 2√x f ' (x)=6 x+1 2√x Exercice 4 (2 points) : On considère la fonction f, définie sur ℝ par f (x)=√x(2 x+1) . D’après ce qui précède, f est dérivable en 1 et f ' (1)=7 2 . La tangente à Cf au point d’abscisse 1 a donc une équation de la forme y=7 2 x+b . Or f (1)=3 donc (1; 3) appartient à la tangente, et 3=7 2×1+b . Donc b=−1 2 et l’équation réduite de la tangente est y=7 2 x−1 2 . Si on n’avait pas trouvé la dérivée de f, on pouvait toujours utiliser la calculatrice... 5/5 uploads/s3/ ds-04-derivation-corrige.pdf