Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D’Oran 2eme année Devoir Surveillé

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D’Oran 2eme année Devoir Surveillé, Analyse Numérique 01 13/12/2011 (La dur ee : 1h : 30) Documents ; Téléphone ; . . . non autorisés N.B : a chaque utilisation d’un théorème ou d’autre résultat du cours, rappeler soigneusement (et véri…er) les hypothèses sous lesquelles il peut s’appliquer, faute de quoi la conclusion n’a pas de valeur. Exercice 1:(6pts) (point …xe). On veut calculer le zéro r = 1 de la fonction f(x) = x3 + 7x2 + 7x 15 en utilisant l’algorithme de points …xes xn+1 = x3 n + 7x2 n + (7 + w)xn 15 w ; où w est un paramètre réel strictement négatif (w < 0). 1. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre w le zéro de la fonction f(x) est-il un point …xe de la méthode proposée? 2. Pour quelle(s) valeur(s) de w la méthode proposée converge-t-elle? 3. Pour qu’elle valeur de w la méthode proposée converge-t-elle plus vite? Quel est l’ordre de convergence dans ce cas? Exercice 2:(7pts) (Décomposition LU) Certaines matrices symétriques mènent à une factorisation de la forme LLt, où L est une matrice triangulaire inférieure. 1. Expliquer pourquoi on s’intéresse à ce cas particulier de la factorisation LU (par rapport à la méthode de Croute). 2. Résoudre le système linéaire 8 < : 9x + 3y + 3z = 15 3x + 5y + z = 9 3x + y + 5z = 9 à l’aide d’une factorisation LLt: Exercice 3:(7pts) (Méthodes itératives) Soit le système d’équations algébriques suivant: 0 @ 1 a 0 a 1 a 0 a 1 1 A 0 @ x y z 1 A = 0 @ 1 1 1 1 A où a est un paramètre réel tel que a 6=  p 2 2 : 1. Pour a = 1=2; faire trois itérations de la méthode de Gauss-Seidel en partant de l’approximation initiale X(0) = (0; 0; 0)t. 2. Pour qu’elles valeurs de a, la convergence de la méthode de Gauss-Seidel est-elle assurée? 3. Pour a = 1=2, donner la matrice d’itérations TJ de la méthode de Jacobi. Sachant que la matrice TJ possède les valeurs propres 1 = 0; 2 = p 2=2 et 3 = p 2=2,est-ce que la méthode Gauss-Seidel converge pour ce système linéaire? ————————————————————————————————————————————— N:B : La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Kh. ZENNIR BON COURAGE 1 uploads/s3/ ds1-analyse-numeriques.pdf

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Administrationméthode exercice paramètre factorisation matrice
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