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Cours de lycée Cassis Avril 2022 Avant-propos Ce document reprend le programme

Cours de lycée Cassis Avril 2022 Avant-propos Ce document reprend le programme du lycée en introduisant constructions formelles et preuves rigoureuses. Il est destiné principalement à un élève de lycée (ou entrant au lycée) qui souhaite se fami- liariser avec les mathématiques du supérieur. L’objectif étant de suivre le programme, nous limiterons autant que possible les écarts au programme, mis à part pour la première partie (pré requis) qui est nécessaire à formaliser rigoureusement les mathématiques : les autres chapitres aborderont chacun un point essentiel des mathématiques du lycée (géométrie / analyse / probabilités...) en détails. Il y aura plusieurs exercices, leur objectif premier est de familiariser le lecteur avec les éléments détaillés dans les parties qui précèdent l’exercice, mais certains sont plus compliqués ou visent à approfondir une notion. Dans ce cas, ces exercices porteront une étoile (*). Nous conseillons de plus de ne faire les exercices qu’en deuxième lecture d’un chapitre, pour s’être d’abord assuré d’avoir maîtrisé ce dont il est question, et surtout pour avoir une idée de la rédaction à adopter. Table des matières I Prérequis 1 Cours lycée 1 Logique de base 1 1.1 La proposition, phrase mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 La conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 La disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 La négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 L’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.6 L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.7 La quantification universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.8 La quantification existentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.9 A propos de la quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Raisonnement et preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 L’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Introduction d’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 L’introduction de la conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 L’élimination de la conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 L’introduction de la disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.6 L’élimination de la disjonction, ou disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.7 L’introduction de la négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.8 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.9 L’introduction de l’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.10 L’élimination de l’implication, le modus ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.11 Le raisonnement par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.12 L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.13 L’introduction du quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.14 L’élimination du quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.15 L’introduction du quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.16 L’élimination du quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.17 Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Théorie des ensembles 10 2.1 Que faire d’un ensemble ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Appartenance et égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Description par extension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Description par compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.4 Inclusion d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.5 Union d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.6 Intersection d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.7 Le complémentaire relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.8 Différence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.9 Produit cartésien d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ cours-lyc-e-4.pdf