1 PROBABILITES Cours et exercices Mr. AHBLI Mustapha GROUPE EXCELLENCE TANGER 2

1 PROBABILITES Cours et exercices Mr. AHBLI Mustapha GROUPE EXCELLENCE TANGER 20/03/2015 2 SOMMAIRE I- Le modèle probabiliste 1- Evènements 2- Loi de probabilité, espace de probabilité 3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables 4- Exercices II- Probabilités conditionnelles 1- Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discontinue 3- Variables aléatoires continue 4- Couples de variables aléatoires 5- Variables aléatoires indépendantes 6- Exercices IV- Caractéristiques d’une variable aléatoire 1- Espérance mathématique 2- Variance 3- Covariance 4- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi hypergéométrique 4- Loi uniforme 5- Loi de Poisson (λ) 6- Loi exponentielle 7- Loi normale (µ, σ) 8- Exercices 3 I- Le modèle probabiliste 1. Evènements Etant donnée une expérience aléatoire, on note Ω l'ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience. Un singleton de Ω est appelé évènement élémentaire. Un sous-ensemble A de Ω est appelé un évènement. Un évènement A est donc un ensemble constitué de résultats possibles de l'expérience. Si le résultat d'une expérience est dans A, on dit que A est réalisé. Exemple 1-2 : Sept étudiants doivent passer un oral d'examen. On leur distribue un numéro d'ordre. On pose : Ω = {tous les alignements des sept lettres a, b, c, d, e, f, g} Le résultat cfabdeg signifie que l'étudiant c est le premier, a le second, .... L'ensemble des arrangements qui commencent par cf est un évènement. Dans le cadre de la théorie des probabilités, un évènement est généralement défini comme l'ensemble des résultats ayant une propriété donnée. La plupart du temps, l'ensemble A est noté comme la propriété qui le définit. Donnons quelques exemples de telles assimilations : Ω : évènement certain Ø : évènement impossible A ∪ B : évènement (A ou B) A∩B : évènement (A et B) : (Non A), évènement contraire de A A∩B = Ø : les évènements A et B sont incompatibles Exercice : Soit Ω l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, et soient A, B et C des évènements. Traduire en termes ensemblistes les évènements : a) les trois évènements A, B et C sont réalisés b) aucun des évènements A, B ou C n'est réalisé c) au moins un des évènements est réalisé d) deux au plus des évènements est réalisé 2. Loi de probabilité, espace de probabilité Définition : Soit Ω un ensemble. Une loi de probabilité P sur Ω est une fonction qui à tout évènement A associe un nombre réel P(A), et qui a les trois propriétés : a) 0 ≤ P(A) ≤ 1, 4 b) P (Ω) = 1 c) Pour toute famille finie ou dénombrable (An) ∈ d'évènements deux à deux disjoints : P (⋃ An ∈ ) =∑ P(An) ∈ . (Ω, P) s'appelle un espace de probabilité. Exemple : On lance un dé et on observe la face du dessus. On posera : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et on supposera que le dé est parfaitement équilibré, de sorte que la probabilité de chaque face est la même : P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({6}) =   Remarquons qu'alors, la probabilité de tout évènement est calculable en utilisant la propriété c) de la définition. Par exemple, comme {1, 3, 4} est la réunion des trois ensembles 2 à 2 incompatibles {1}, {3} et {4}, on a : P ({1, 3, 4}) = P ({1}) + P ({3}) + P ({4}) =   +   +   =   =   Exercice: Soit (Ω, P) un espace de probabilité. a) Si A est un évènement de probabilité P(A) connue, que vaut P (A) ? b) Si A ∁ B, comparer P(A) et P(B). c) Calculer P (A ou B) en fonction de P (A et B), P(A) et P(B). d) Montrer que P (A ou B) ≤ P(A) + P(B). Généraliser cette inégalité à un nombre fini d'évènements. 3. Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables Soit (Ω, P) un espace de probabilité correspondant à une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats possibles est fini : Ω = {ω1, ω2, ...., ωn} Supposons que chaque résultat "a autant de chances d'être réalisé qu'un autre", soit, en termes probabilistes, que P est telle que : P ({ω1}) = P ({ω2}) = ... = P ({ωn}) Comme la somme de ces n nombres est 1, leur valeur commune est égale à 1/n. Soit maintenant un évènement A. Sa probabilité est : P (A) = ∑ P({ωk})  / ∈ = card (A).  =  ( )  (Ω) Cette loi de probabilité est souvent appelée loi uniforme sur Ω. Calculer des probabilités par une méthode directe dans ce cas revient donc à dénombrer des ensembles. 5 Exercice : 20 sujets sont au programme d'un oral d'examen. Le candidat tire au sort 3 de ces sujets et traite l'un de ces trois. Combien doit-il avoir révisé de sujets pour avoir au moins 9 chances sur 10 de pouvoir traiter un sujet qu'il a révisé ? 4. Exercices Exercice 1: Soit (Ω, P) un espace de probabilité, et soient A et B deux évènements. Montrer que si P(A) = P(B) = 0,9, alors, P (A ∩ B) ≥ 0,8. Dans le cas général, montrer que P (A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) - 1. Exercice 2 : Deux personnes sont tirées au sort dans un groupe de 30 composés de 10 femmes et 20 hommes. Avec quelle probabilité ces deux personnes sont-elles des hommes ? Avec quelle probabilité sont-elles des femmes ? Exercice 3 : Un tiroir contient en vrac les 20 chaussettes de 10 paires différentes. On en sort au hasard 4 chaussettes. Avec quelle probabilité obtient-on : a) 2 paires b) au moins une paire II- Probabilités conditionnelles 1. Définition Lançons un dé parfaitement équilibré. Un bon modèle probabiliste en est donné par : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} muni de la loi de probabilité P uniforme. Notons A l'évènement "le dé donne au moins 4 points" et B l'évènement "le résultat est impair". Supposons qu'on ne retienne le résultat du lancer que s'il est dans B. Dans cette nouvelle expérience, l'évènement A est réalisé quand on obtient un 5, et c'est avec la probabilité relative " ({#}) "({,,#}) = / / =   . Plus généralement la probabilité relative de A sous la condition que B est réalisé est %(& '( )) %()) . On l'appelle aussi probabilité de A sachant que B, ou probabilité conditionnelle de A relative à B, etc.… Définition : Soit (Ω, P) un espace de probabilité, et soit B un évènement tel que P(B) ≠ 0. La probabilité de A sachant que B est notée P (A | B), et est définie par : P (A | B) = % (& ∩ )) %()) Exercice : Lançons un dé parfaitement équilibré. Un bon modèle probabiliste en est donné par : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 Muni de la loi de probabilité P uniforme. Notons A l'évènement "le dé donne au moins 3 points" et B l'évènement "le résultat est pair". 2. Deux résultats de décomposition Les deux résultats de ce paragraphe utilisent "à l'envers" la définition de probabilité conditionnelle, c'est-à-dire donnent un moyen de calcul de probabilités connaissant des probabilités conditionnelles. Ils sont très utiles dans la pratique. Exemple : Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. Une personne tire une boule et la garde, une deuxième personne tire une boule. Avec quelle probabilité les deux boules tirées sont-elles blanches ? On peut répondre à cette question en utilisant la définition de probabilité conditionnelle. En effet, notons A l'évènement "la première personne a tiré une boule blanche" et B l'évènement "la deuxième personne a tiré une boule blanche". D'après la définition, P (A et B) = P (B | A) P(A). Mais P(A) est connue, c'est 2/3. P (B | A) est aussi connue : c'est 1/2 car, la première personne ayant tiré une boule blanche, la deuxième personne tire une boule au hasard dans une urne qui contient une boule blanche et une boule noire. Ainsi, P (A et B) vaut (2/3).(1/2) = 1/3. Proposition : Soit (Ω, P) un espace de probabilité, et soient A1, A2,…, An des évènements. On a : P (An et An-1 et… et A1) = P (An | An-1 et… et A1) P (An-1 | An-2 et… et A1) … P (A2 | A1) P(A1). Cet énoncé est constamment utilisé dans le contexte des "chaînes de Markov", qui interviennent naturellement dans les problèmes concrets où A1, A2,…, An représente une succession (temporelle) d'évènements, la probabilité de réalisation du n-ième évènement An étant conditionnée par "le passé" (probabilité sachant que A1 et … et An- ont eu lieu). Proposition : Soit (Ω, P) uploads/s3/ cours-probabilite-s1.pdf

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