Cours de Probabilité et de Statistique cours de JB Boyabé UC-SJP - année 2012/2

Cours de Probabilité et de Statistique cours de JB Boyabé UC-SJP - année 2012/2013 1 Analyse combinatoire, dénombrement 1.1 Introduction On appelle analyse combinatoire, la théorie mathématique du dénombrement. Pour com- prendre le dénombrement on peut partir de l’exemple suivant. Exemple 2.1. on considère un système de communication composé de n antennes iden- tiques alignées. Aussi longtemps que deux antènes consécutives ne seront pas défectueuses, la communication dans le système fonctionnera. Ce qui veut dire aussi que dès que deux antennes qui se suivent sont en pannes, la commuication ne fonctionnera pas. Dans l’exemple où n=4 on peut lister six configurations du systèmes: 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Table 1.1: où 1 signifie que l’antenne fonctionne et 0 signifie qu’elle est défectueuse. On voit alors que notre système sera fonctionnel dans les trois premières configurations, mais pas dans les trois dernières. La probabilité que le système fonctionne est donc de 3/6 = 1/2. On vient par cet exemple de compter/dénombrer le nombre de manières différentes selon lesquelles le système fonctionne par rapport au nombre total de manières. 1.2 Principe fondamental du dénombrement Le principe fondamental du dénombrement établit que: si une expérience peut produire m résultats et une autre n, alors il y a m × n résultats possibles lorsqu’on considère ces deux expériences ensemble. Théorème 2.2. Si r expériences doivent être réalisées et sont telles que la première peut produire l’un quelconque de n1 résultats, et si pour chacun d’entre eux il y a n2 résultats possibles pour la 2ème expérience, et si pour chaque résultat des deux premières expériences il y en a n3 pour la 3ème expéreince, ainsi de suite, il y aura alors au total n1 × n2 × . . . . × nr résultats pour les r expériences prises ensemble. 2 ' & $ % Exemple 2.3. Le comité de planification d’un collège est constitué de 3 étudiants de 1ère année, 4 de 2ème, 5 de 3ème et 2 de dernière année. Un sous-comité de 4 étudiants comportant un représentant de chaque classe doit être choisi. Combien peut-on former de sous-commité? Solution: On peut consédérer le choix d’un sous-comité comme le résultat combiné de 4 expéri- ences distinctes, chacune consistant à choisir un unique représentant dans l’une des classes. Par conséquent, en application de la version généralisée du principe fondamental, il y a 3×4×5×2=120 sous-comités possibles.     Exemple 2.4. Combien de plaques minéralogiques portant un matricule de 7 caractères sont des lettres et les 4 dernières des chiffres? Solution: 26.26.26.10.10.10.10 = 175760000plaques Rappel: il y a 26 lettres de l’alphabet et 10 chiffres dans N de 0 à 9.     Exemple 2.5. dans l’exemple précédent, combien de plaques mnéralogiques pourrait-on avoir si l’on excluait que les lettres ou les chiffres se répètent? Solution: 26.25.24.10.9.8.7 = 78624000plaques 1.3 Permutations Combien existe-t-il d’arrangements ordonnées de lettres a, b et c? Réponse: 6 car on a: abc ; acb ; bac ; cab ; bca et cba. Chacun de ces arrangements est appelé permutation par convention. Il y a donc 6 permutations des éléments d’un ensemble de 3 objets. Remarque 2.6. • la première lettre de la permutation peut être n’importe laquelle des 3 • le deuxième lettre peut être choisie parmi les deux restantes • tandis que le 3ème ne peut plus faire l’objet d’aucun choix Ainsi il y a 3.2.1 = 6 permutations possibles. Généralisation: L’expression n! dite n factorielle est définie par l’équation n! = n.(n−1).(n−1). . . . . . 3.2.1. n! = n.(n −1).(n −1) . . . . . . 3.2.1. Théorème 2.7. Le nombre de permutations de n objets est n!     Exemple 2.8. Combien d’ordres à la batte peut-on avoir pour une équipe de baseball de 9 joueurs? Solution: 9!=362880 ordres selon lesquelles les joueurs peuvent se succéder à la batte. 3 ' & $ % Exemple 2.9. Considérons un cours de mathématiques suivi par 6 hommes et 4 femmes. Un examen a lieu, puis les étudiants sont classés selon leur note. On exclut le cas où deux étudiants obtiennent la même note. 1. Combien de classements peut-on avoir? 2. Si les hommes sont classés entre eux uniquement et les femmes entre elles, combien de classements globaux peut-on avoir? Solution: 1. Chaque classement correspond à un certain arrangement ordonné de 10 personnes: 10! = 3628800 2. Il y a 6! classements des hommes entre eux et 4! classements de femmes entre elles, d’où un nombre global de classements: (6!).(4!) = 17280 classements possibles. Remarque 2.10. Quand le nombre de permutations concernent un ensemble de n ob- jets dont certains sont indistinguables les uns des autres, il faut considérer la formule du théorème suivant: Théorème 2.11. il y a n (n1!n2!. . . .nr!) permutations différentes de n objets parmi lesquels n1 sont indistinguables entre eux, n2 entre eux également, ..., nr entre eux.     Exemple 2.12. Quel est le nombre d’arrangements avec les lettres du mot PEPPER? Solution: (6!)/(3!2!) = 60arrangements ' & $ % Exemple 2.13. Parmi les 10 participants à n tournois d’échec, on compte 4 russes, 3 américains, 2 anglais et 1 français. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des nationalités des joueurs mais leur identité, à combien de classements individuels différents une telle liste correspond-elle? Solution: il y a (10!)/(4!3!2!1!) = 1260 classements possibles. # " ! Exemple 2.14. On compose des signaux en alignant des drapeaux suspendus. Combien de ces signaux peut-on former si parmi les drapeaux à disposition 4 sont blancs, 3 rouges, 2 bleus et si tous les drapeaux d’une même couleur sont indistinguables? Solution: (9!)/(4!3!2!) = 1260 signaux différents. 1.4 Arrangements Un arrangement de r objets parmi n objets différents est un sous-ensemble ordonné de r objets choisis parmi les n objets Pour dénombrer le nombre d’arrangements, on a la formule Ak n = n(n−1) . . . (n−k+1) = n! (n−k)! Rq : Ici, l’ordre est important mais il n’y a pas de répétition ' & $ % Exemple 1: Pour le jeu de cartes, les sous-ensembles {AP, 2P, 3P, 4P, 5P} {2P, AP, 3P, 4P, 5P} {7C, DC, 7T, 7CA, VC} sont des arrangements distincts de 5 cartes choisies parmi 52. En utilisant la formule, on peut calculer qu’il existe A 5 52 = 52! (52−5)! = 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311875200 arrangements différents de ce type 4 ' & $ % Exemple 2 On dispose d’une urne contenant trois boules différentes, numérotées 1, 2 et 3 et on en tire deux (sans remise) parmi les trois. Combien de tirages différents peut-on effectuer ? Correction : Un tirage correspond à un arrangement de deux éléments parmi trois. En effet, l’ordre de tirage est important mais on effectue le tirage sans remise donc il ne peut y avoir de répétitions. On a donc 3! (3−2)! = 6 tirages possibles. Dans ce cas, on peut encore faire la liste exhaustive de ces différents tirages, par exemple sous forme d’arbre. 1.5 Combinaisons 1.5.1 Définitions Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous- ensemble de cardinal k d’un ensemble de cardinal n. On note C k n ou  n k  et le nombre de combinaisons de k éléments parmi n et alors C k n = n! k!(n−k)! Autrement dit, k!C k n = A k n. Rq : Ici, on ne tient pas compte de l’ordre et il n’y a pas de répétition. Proposition Pour tout n et k deux entiers naturels, on a C k n + C k+1 n = C k+1 n+1 Cette propriété permet d’obtenir ce qu’on appelle le triangle de Pascal donnant les valeurs des C k n k n 0 1 2 3 4 5 1 1 1 0 2 1 2 1 0 3 1 3 3 1 0 4 1 4 6 4 1 0 5 1 4 10 10 5 1 généré à partir des formules ( C 0 n = 1 et C 1 1 = 1 ∀n ∈N C k n = C k n−1 + C k−1 n−1 1 ≤k ≤n −1 Pour obtenir le terme C k n du triangle de Pascal, il suffit d’additionner le terme immédi- atement au dessus de celui-ci (en l’occurrence Ck n−1 ) et le terme à gauche de ce dernier (en l’occurrence C k n−1) 1.5.2 Le binôme de Newton Soit a et b deux nombres réels (et par la suite, éventuellement complexes) Partons de l’identité remarquable : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 On en déduit en multipliant les deux membres de l’égalité précédente par (a + b) (a + b) 3 = a 3 + 3a2b + 2ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 uploads/s3/ cours-probastat-pdf.pdf

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Administrationdistribution d’une probabilité variable moyenne
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