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LA DERIVATION NON ENTIERE EN ISOLATION VIBRATOIRE : APPLICATION AU CONTROLE GLO

LA DERIVATION NON ENTIERE EN ISOLATION VIBRATOIRE : APPLICATION AU CONTROLE GLOBAL DE LA SUSPENSION DE VEHICULE Xavier MOREAU, Pascal SERRIER et Alain OUSTALOUP Equipe CRONE - LAPS - UMR 5131 CNRS - ENSEIRB - Université Bordeaux 1 351, cours de la Libération - 33 405 - Talence Cedex - FRANCE Tel. 33 (0) 540 002 417 - Fax. 33 (0) 540 006 644 - E-mail : xavier.moreau@laps.u-bordeaux1.fr 1 – Généralisation de l’ordre de dérivation 1.1 – Intégration non entière Résumé 1.1.1 - Définition Si le concept et le formalisme mathématique de la dérivation non entière (réelle ou complexe) sont issus des travaux de mathématiciens célèbres tels que Laplace, Liouville, Abel, Riemann et Cauchy, remontant ainsi au début du XIXème siècle, sa synthèse et ses applications dans les sciences physiques et les sciences pour l'ingénieur relèvent des contributions scientifiques de la seconde moitié du XXème siècle et du début du XXIème siècle [Dug 94]. Inspirée de la formule de Cauchy, la définition de Rie- mann-Liouville de l'intégrale d'ordre m d’une fonction f(t), notée Imf(t) avec m > 0, a été établie au XIXème siè- cle sous la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ d f t m t f I t t m m t Γ 1 1 0 0 ∫ − ∆ − = , (1) avec t > t0, R 0 ∈ t , et où Γ(m) est la fonction Gamma définie par : + ∈R m Les travaux qui font l'objet de cet article s'inscrivent dans le cadre de ces contributions scientifiques, le contexte d'étude étant plus particulièrement celui de la dérivation non entière en isolation vibratoire et ses ap- plications dans le secteur de l’automobile. Plus précisé- ment, après une introduction générale pour situer le contexte, la deuxième partie est d’abord consacrée aux définitions et aux interprétations de la dérivation non entière, puis à la synthèse d’un dérivateur d’ordre non entier borné en fréquence. La troisième partie traite plus particulièrement de la dérivation non entière en isolation vibratoire. Le schéma fonctionnel établi à partir des équations d’un modèle à un degré de liberté met en évi- dence qu’une suspension joue le même rôle que le ré- gulateur d’une boucle de commande. Ainsi, compte tenu de ce constat, la conception d’une suspension peut être développée en utilisant les méthodes de synthèse des commandes robustes comme par exemple la commande CRONE et ses trois générations qui ont donné lieu à la suspension CRONE. Enfin, la dernière partie est consa- crée au Contrôle Global de la Suspension (CGS) d’un véhicule où l’objectif est de réguler les trois degrés de liberté de la caisse (Pompage, Tangage et Roulis : PTR) autour de la position d’équilibre statique (PTR = 0 : ob- jectif de confort des passagers) ainsi que la Répartition Anti-Devers (RAD : objectif de correction de la trajec- toire du véhicule par action sur la suspension). Cette stratégie s’inscrit dans un cadre plus large, à savoir le Contrôle Globale du Châssis (CGC) où l’objectif est de coordonner les actions des organes des différentes fonc- tions du châssis (direction, freinage et suspension) afin d’augmenter la sécurité active du véhicule. . (2) ( ) Γ 0 1 ∫ ∞ − − ∆ = dx x e m m x 1.1.2 – Interprétation Dans le cadre d’une approche système où u(t) désigne l’entrée et y(t) la sortie, l’intégrale d’ordre m de u(t), notée y(t) = Imu(t), soit : ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ d u t m t y t t m Γ 1 1 0 ∫ − ∆ − = , (3) peut être interprétée comme le produit de convolution entre la réponse impulsionnelle h(t) du système et son entrée u(t), soit : . (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t u t h d u t h t y t * 0 = − = ∫ ∆ τ τ τ La transformée de Laplace H(s) qui n’est autre que la fonction de transfert du système est donnée par : ( ) ( ) { } ( ) ( ) m m s t m TL t h TL s H 1 Γ 1 1 =       = = − . (5) La figure 1 présente les réponses fréquentielles et im- pulsionnelles de l’intégrateur généralisé pour des ordres compris entre 0 et 2. 1.2 – Dérivation non entière 1.2.1 – Définition La définition de Riemann-Liouville de l'intégrale d'or- dre m d’une fonction f(t), notée Imf(t) avec m > 0, éten- due à des ordres négatifs, soit : ( ) (t f D t f I m t m t 0 0 = − ) , (6) est en générale divergente. La manière la plus simple pour définir une dérivée d’ordre m > 0 (intégrale d’ordre négatif) consiste à dériver à l’ordre entier n, avec n = Ent[m] + 1, l’intégrale d’ordre n-m > 0, soit : 10 -1 10 0 10 1 -40 -20 0 20 40 Gain (dB) -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180 frequency ω /ω d Phase ( deg ) 10 -1 10 0 10 1 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f D dt d t f D t f D m n t n n n m t m t − − ∆ + − ∆       = = 0 0 0 , (7) ( ) ( ) ou encore, sachant que ( ) ( ) t f I t f D m n t m n t − − − = 0 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ d f t m n dt d t f D t t m n n m t ∫ − − ∆ − −       = 1 0 0 Γ 1 , (8) où n = Ent[m] + 1. A titre d’exemple : Figure 2 – Diagrammes de Bode d’un dérivateur généralisé ( ) ( ) ( ) t f I dt d t f D t t 25 . 0 1 75 . 0 0 0       = ∆ . (9) 1.2.3 – Dérivateur généralisé borné en fréquence Aussi bien dans le cadre de la caractérisation que dans celui de la synthèse de comportements d’ordre non en- tier, ces derniers se situent souvent sur un intervalle fré- quentiel borné. Ainsi, une troncature à la fois du côté des basses et des hautes fréquences consiste à limiter à un intervalle fréquentiel le transfert de différentiation (s/ωd)m, ce qui revient à lui substituer le transfert de dif- férentiation borné en fréquence : 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -50 0 50 G ain (dB ) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 0 Frequency (rad/s) P hase (deg ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (s) y(t) 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 m h b s s D s D             + + = ω ω 1 1 ) ( 0 , (11) avec ( ) ( ) ℜ ∈ = = 0 0 2 1 , / D D et m d b d h b ω ω ω ω ω . (12) La figure 3 présente les diagrammes asymptotiques de Bode d’un dérivateur généralisé borné en fréquence. 10 -1 10 0 10 1 -40 -20 0 20 40 Gain (dB) -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180 frequency ω /ω d Phase ( deg .) m = -1.5 m = 1.5 ωb ωh 10 -1 10 0 10 1 Figure 3 – Diagrammes asymptotiques de Bode d’un dériva- teur généralisé borné en fréquence pour m = 1.5 et - 1.5 Figure 1 - Réponses fréquentielles et impulsionnelles de l’intégrateur généralisé pour des ordres compris entre 0 et 2 1.2.4 – Synthèse fondée sur la récursivité fréquentielle d’un dérivateur généralisé borné en fréquence 1.2.2 – Dérivateur généralisé La synthèse repose sur une distribution récursive de N zéros et pôles réels, soit [Ous 96]: Dans le cadre d’une approche systémique, un dérivateur généralisé est défini par un transfert de la forme ) ( lim ) ( s D s D N N ∞ → = , (13) ( ) m d s s D         = ∆ ω , (10) avec ∏ =               + + = N i i i N s s D s D 0 ' 0 1 1 ) ( ω ω , (14) où et ω uploads/s3/crone.pdf