Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lycée Tahar Sfar Sousse 4ème T2 Synthèse N°1 MATHEMATIQUES 06 Décembre 2008 – D

Lycée Tahar Sfar Sousse 4ème T2 Synthèse N°1 MATHEMATIQUES 06 Décembre 2008 – Durée = 2h Exercice N°1 ( 4 points) QCM Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.. 1. Le complexe 1 3 1 i i   a pour argument : (a) 12  (b) 4  (c) 3  2. Soit (E) : 2z ² -(1+2i)z + i = 0 . La somme des racines de (E) est égale à : (a) -1+2i (b) i (c) 1 i 2  3. Soit les points A, B, C et D d’affixes respectives -1, 1+2i , 3 et -3i on a : (a)AB BD  u u u r u u u r (b) AB et CD u u u r u u u r colinéaires (c) ABCD est un parallélogramme 4. Soit 3 ( ) 7 1 f x x x    la tangente à Cf au point A(2,-7) est parallèle à la droite d’équation (a) y x  (b) 5 1 y x   (c) 3 2 y x   Exercice N°2 ( 6 points) 1. Résoudre, dans £ , l’équation : z ² -(3 +4i)z –3 +9i =0 2. Soit P(z) = z 3 –(1+4i)z ² -(9-i)z –6 +18i. a) Montrer que l’équation P(z) = 0 admet une solution réelle α dans £ . b) Déterminer les nombres complexes b et c tels que : P(z) = (z + 2)(z ²+bz +c) 3. Résoudre alors l’équation P(z) = 0 . 4. Soient les points A,B et C d’affixes respectives : -2 , 3i et 3+i . a) Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. b) Déterminer le point D tel que ABCD soit un carré. Exercice N°3 ( 5 points) Soit la fonction g définie sur ¡ par 1 1 si 0 ( ) 1 2 sin si 0 x g x x x x          1. a) Montrer que g est continue en 0. b) Étudier la dérivabilité de g en 0? Interpréter géométriquement le résultat. 2. Soit f la restriction de g à l’intervalle [0, [  a) Montrer que f est strictement croissante sur [0, [ . b) Montrer que l’équation f(x) = x admet une solution unique α dans [0, [ . c) Montrer que pour tout [0, [ x  on a : 1 '( ) 2 f x  . d) En déduire que pour tout [0, [ x  on a : 1 ( )α α 2 f x x    . Page 1 La suite Exercice N°4 ( 5 points) Dans la plan rapporté à un repère orthonormé (O, , ) i j r r la courbe (C) ci−dessous représente une fonction f définie et dérivable sur ¡ . (T) est la tangente à la courbe (C) au point A(1,1) 1. Donner f (0), f (1) , ' f (0) et ' f (1). 2. Dresser le tableau de variations de f. 3. Soit g la restriction de f à l’intervalle [0 , 2] . a ) Montrer que g réalise une bijection de [0 , 2] sur un intervalle J que l’on déterminera. b) Donner g -1(3) et g -1(1). (g -1 désigne la réciproque de g). c) Tracer la courbe (Г) représentative de g-1. d) g -1 est-elle dérivable en 3? Justifier. e) Montrer que g -1 est dérivable en 1 et calculer 1 ( )'(1) g  . 4. a) On suppose 3 2 ( ) f x ax bx c   . Utiliser la question 1. pour déterminer f. b) Montrer que f admet un point d’inflexion I que l’on déterminera. -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 A (T) (C) 0 Page 2 Lycée Tahar Sfar Sousse 4ème T2 Contrôle N°1 MATHEMATIQUES 10 Novembre 2008 – Durée = 2h Exercice N°1 ( 6 points) QCM Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. 5. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant z-1 = z +i est la droite d’équation : (a) y = x − 1 (b) y = −x (c) y = −x + 1 (d) y = x 6. Un argument de z = - 3( 3) i  est égal à (a) 6 π − (b) 6 5π (c) 6 π π − × (d) 5 3 π − 7. On considère le nombre complexe : z = (1 – i)2 (a) | z | = 1 (b) z > 0 (c) z est imaginaire (d) z est réel 8. Soit ( ) 3 1 f x x = + , le nombre dérivé de f en 0 est : (a) = 0 (b) n’existe pas (c) = 3 2 (d) = 3 9. On donne, ci-dessous, la courbe d’une fonction f . On a 1 lim ( ) x f x  = (a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 0 10. 2 0 cos 1 lim x x x   = (a) 0 (b) 1 2 (c) - 1 2 (d) 1 Exercice N°2 ( 6 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé   ; ; O u v r r d'unité graphique. On considère les nombres complexes : 1 1 2 3 4 1 2 2 1 3 , , , 1 z z i z z z z z i z         1. Mettre le nombre 2 z sous la forme algébrique. 2. Calculer le module et un argument de 1 z et 2 z , en déduire leur forme exponentielle. 3. Mettre le nombre complexe 3 z sous la forme algébrique et la forme trigonométrique. 4. En déduire les valeurs exactes de cos et sin 12 12 π π 5. Construire dans le plan complexe, les points A, B , C et D d'affixes 1 z , 2 z , 3 z et 4 z Page 3 La suite Exercice N°3 ( 8 points) (I) On donne , ci-dessous, la courbe ( Г) d’une fonction g définie sur ¡ . Utiliser la courbe pour répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer g([-1,3[) , g([0,+∞[) et g([0,2]) 2. Déterminer ' (0) g g , ' (0) d g , '(2) g et '(3) g . 3. La fonction g es-elle dérivable en 0 ?en 2 ? en 3 ? Justifier les réponses. 4. Ecrire les équations cartésiennes des tangentes à la courbe en A , en B et en C.. 5. Dresser le tableau de variation de g et donner, s’ils existent, les extremums de g. 6. Résoudre, dans¡ , l’équation ( ) 0 g x  . -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C    (II) Soit f la fonction définie sur IR par : 2 1 3 1 1 sin 3 f(x)= x x x f(x)= 2x+ + x x          si 0 si 0 1. Calculer les limites de f en +  et en -  . 2. Montrer que f est continue en 0. 3. Etudier la dérivabilité de f en 0 . Interpréter géométriquement le résultat. 4. Montrer que l’équation ( ) 0 f x  admet une solution unique α ]1,2[. Donner un encadrement d’amplitude 0,5 de cette solution. 5. Montrer que la restriction de f à l’intervalle [0,+∞[ admet un point d’inflexion que l’on déterminera. Page 4 uploads/s3/ devoir-1-controle-et-synthese-4eme-technique.pdf