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PRYTANÉE MILITAIRE DU KADIOGO M.YAMEOGO DEVOIR DE MATHÉMATIQUES (Classe de prem

PRYTANÉE MILITAIRE DU KADIOGO M.YAMEOGO DEVOIR DE MATHÉMATIQUES (Classe de première C Durée :4 H Date :–/10/2021) Exercice 1 (4 points) 1. Déterminer les réels a et b pour que le polynôme axn+1 +bxn +1 soit divisible par (x−1)2 2. Soit S(x) un polynôme.on pose T(x) = S(x) + 1.Démontrer que (S(x))2n + (T(x))2 −1 est divisible par S(x)T(x) 3. Soit f la fonction déﬁnie de E →F par f(x) = q x(1 −2x avec E et F des sous ensemble de R (a) Déterminer les ensembles E et F pour que f soit uniquement une injection. (b) Déterminer les ensembles E et F pour que f soit uniquement une surjection. (c) Déterminer les ensembles E et F pour que f soit uniquement une bijection. Exercice 2 (8 points) A)On considère l’équation (E) : αx2 + βx + γ = 0 avec α ; β et γ des réels tels α ̸= 0 ; on suppose que (E) admet deux racines x et x ′. 1. Démontrer que α + β + γ si et seulement si x = 1 et x ′ = γ α. 2. Démontrer que α + γ= β si et seulement si x = −1 et x ′ = −γ α. B) Soit Pm(x) = 6x3 −(6m + 1)x2 + (m −15)x + 15m. 1. Vériﬁer que m est une racine de Pm(x). 2. Déterminer toutes les racines de Pm(x) puis factoriser Pm(x). 3. Étudier le signe de P1(x) 4. Résoudre dans R : (a) q P1(x) ≤x −1 (b) q P1(x) = 2x + 3 (c) √ x2 −4x + 3 ≻x −2 Exercice 3 (8 points) Le but de ce problème est la résolution de l’équation : x3 + 3x2 + 15x −99 = 0(E) 1. On se ramène à la résolution d’une équation de la forme :X3 + pX + q = 0 (a) Trouver trois réels a ; p et q tels que pour tout x x3 + 3x2 + 15x −99 = (x + a)3 + p(x + a) + q (b) En posant x + a = X ; vériﬁer que :X3 + 12X −112 = 0 2. Résolution de l’équation X3 + 12X −112 = 0(E1) .Pour cela on pose X = u + v (a) Vériﬁer que (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv(u + v).En déduire que : • Lorsque X = u + v , alors X3 + 12X −112 = u3 + v3 + (3uv + 12)(u + v) −112 ; • X = u + v est une solution de l’équation (E1) lorsque u3 + v3 = 112 et u3v3 = −64 1 (b) Trouver les nombres u et v tels que :u3 + v3 = 112 et u3v3 = −64 indication :Poser u3 = U et v3 = V (c) Résoudre l’équation (E1 indication : Vériﬁer (2 + 2 √ 2)3 = 56 + 40 √ 2 (d) Résoudre l’équation (E) Note culturelle :Réduire l’équation générale ax3+bx2+cx+d = 0 à la forme X3+pX+ q = 0 est une méthode connue par CARDAN(1501 −1576),VIETE(1540 −1603 ) et DESCARTES(1596 −1650) 2 uploads/s3/ devoir-1ere-c.pdf