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Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scienti que École Nati

Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scienti que École Nationale Polytechnique d'Alger Département du Génie Mécanique Devoir Maison du module technique de mesure N ◦1 Réalisé par : Mr.HAMMOUTENE Mohamed Islem Mr.BEZZAOUIA Mohamed Hocine Destiné à : Pr.BOUAZIZ 26 Juin 2019 2 Table des matières 1 Partie Mathématique : 2 1.1 Détermination de l'expression de ZI : . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Détermination de la sensibilité KZ(ZI) en fonction de g(ZI) et g′(ZI) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Détermination des coe cients α et λ de l'équation de la tangente f(Z) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Caractéristiques de l'appareil : 3 2.1 Tracé du graphe de la fonction h(Z) pour Z ∈[0; 0, 24]mm et f(Z) pour Z ∈[0, 005; 0, 24]mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Détermination Zmin et Zmax en acceptant une erreur relative de 1 % en ces limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.1 Inégalité 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2 Inégalité 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.3 Résolution de l'équation de troisième degré : . . . . . . . . 5 2.2.4 Détermination de Zmax : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.5 Détermination de Zmin : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.6 Déduction de la valeur de △Z et ITmax pouvant être controlé sur cet appareil : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.7 Tracter de la courbe ITmax(d2) : . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 1 Partie Mathématique : Soit : h(Z) = H 1 + (4.d2.Z d2 1 )2 (1) Sachant que : g(Z) = 4.d2.Z d1 et KZ(Z) = dh dZ(Z) 1.1 Détermination de l'expression de ZI : A partir des expressions données ci-dessus on peut écrire : h(Z) = H 1 + (g(Z))2 Sachant que le point I représente le point d'in exion qui satisfait la condition suivante : h”(ZI) = 0 On procède dans ce qui suit au calcul de la dérivée seconde de la fonction h(Z) : h′(Z) = −2H(4.d2 d2 1 )2.Z (1 + (4.d2.Z d2 1 )2)2 A partir de cette expression on calcul h”(Z) h”(Z) = −2H(4.d2 d2 1 )2. (1 + (4.d2.Z d2 1 )2)2 −2.Z.(1 + (4.d2.Z d2 1 )2).2.(4.d2 d2 1 )2.Z (1 + (4.d2.Z d2 1 )2)4 On procède alors à la simpli cation de l'équation ci-dessus , on aura alors : h”(Z) = −2H.(4.d2 d2 1 )2 + 6H.(4.d2 d2 1 )4.Z2 (1 + (4.d2.Z d2 1 )2)3 A n de trouver ZI on procède à la résolution de l'équation ci-dessus : h”(Z) = 0 Ce qui nous conduit à la résolution d'une équation de second degré en tachant de prendre la valeur positive de ZI car cette dernière représente une distance : ZI = √ 3.d2 1 12.d2 ou ZI = − √ 3.d2 1 12.d2 A partir des résultats ci-dessus et de la remarque portée sur ZI ( ZI est une distance ) on aura : ZI = √ 3.d2 1 12.d2 A.N : ZI = 49. √ 3 1800 ∼ = 0, 04715mm A partir du résultat numérique précédent on trouve les expressions de g(ZI) , g′(ZI) et h(ZI) suivantes : g(ZI) = 1 √ 3 et g′(ZI) = 4.d2 d2 1 et h(ZI) = 3H 4 2 1.2 Détermination de la sensibilité KZ(ZI) en fonction de g(ZI) et g′(ZI) : A partir de l'expression de KZ(Z) donnée au début et en s'appuyant sur l'expression de h(Z) on aura : KZ(Z) = −2H.g(Z).g′(Z) (1 + (g(Z))2)2 Donc on calcul l'expression de KZ(Z) en s'appuyant sur les expression de g(ZI) et g′(ZI) trouvée dans la section (1.1) : KZ(ZI) = −2H.g(ZI).g′(ZI) (1 + (g(ZI))2)2 On trouvera nalement : KZ(ZI) = − 2H. 4.d2 √ 3.d2 1 (1 + ( 1 √ 3)2)2 = −3 √ 3 2 .H.d2 d2 1 1.3 Détermination des coe cients α et λ de l'équation de la tangente f(Z) : Le but de ce paragraphe est de trouver l'expression de la tangente sous la forme suivante f(Z) = a.Z + b : En premier lieu on a : a = dh dZ (Z = ZI) = KZ(ZI) = α On trouve alors : α = −3 √ 3 2 .H.d2 d2 1 On sait qu'au niveau du point d'in exion on a f(ZI) = h(ZI) donc on aura : α.ZI +λH = 3 4H En résolvant l'équation ci-dessus on trouvera alors : λ = 3 4H −αZI H En remplaçant avec l'expression de α on trouve nalement : 3H 4 + 3 √ 3 2 .H.d2 d2 1 . √ 3.d2 1 12.d2 H On aura nalement : λ = 9 8 puis on trouve que b = λ.H = 9H 8 On trouve nalement : f(Z) = −3 √ 3.H.d2 d2 1 .Z + 9H 8 (2) 2 Caractéristiques de l'appareil : Remarque : - Hauteur H = 500mm - Diamètre du gicleur d'entrée d1 = 0, 7mm 3 2.1 Tracé du graphe de la fonction h(Z) pour Z ∈[0; 0, 24]mm et f(Z) pour Z ∈ [0, 005; 0, 24]mm 2.2 Détermination Zmin et Zmax en acceptant une erreur relative de 1 % en ces limites : Soit la formule donnant l'erreur relative donnée dans l'énoncé de l'exercice : δ = |h(Z) −f(Z)| h(Z) < 0, 01 A partir de cette inégalité on trouve : −0, 01 < h(Z) −f(Z) h(Z) < 0, 01 (3) On peut alors écrire l'expression ci-dessus de la manière suivante : −0, 01 < 1 −f(Z) h(Z) < 0, 01 En utilisation l'équation (1) et (2) qio donnent respectivement les expressions de h(Z) et de f(Z) on trouve : 1 −f(Z) h(Z) = 1 − −3 √ 3.H.d2 d2 1 .Z + 9H 8 H 1+( 4.d2.Z d2 1 )2 On procède alors au développement de cette equation , premier lieu on trouve : 1 −f(Z) h(Z) = 1 −(−3 √ 3.d2.Z 2.d2 1 + 9 8)(1 + 4.d2.Z d2 1 )2) En réarrangeant les termes de l'expression ci-dessus on trouve l'expression nale suivante qui est une équation de troisième degré en fonction de la variable Z. h(Z) −f(Z) h(Z) = 24 √ 3.d3 2 d6 1 .Z3 −18.d2 2 d4 1 .Z2 + 3 √ 3 2 .d2 d2 1 .Z −1 8 (4) 4 Dans ce qui suit on va procéder à la résolution de l'inégalité a (3) en utilisant l'expression ci-dessus . On remarque que cette inégalité comporte deux borne , donc on on va la diviser en deux inégalités tel que l'une nous donnera la valeur de Zmax et l'autre celle de Zmin , on aura alors : 2.2.1 Inégalité 1 : On a : h(Z) −f(Z) h(Z) < 0, 01 En utilisant l'expression (4) , on trouve nalement : 24 √ 3.d3 2 d6 1 .Z3 −18.d2 2 d4 1 .Z2 + 3 √ 3 2 .d2 d2 1 .Z −27 200 < 0 (5) 2.2.2 Inégalité 2 : On a : −0, 01 < h(Z) −f(Z) h(Z) En utilisant l'expression (4) , on trouve nalement : 24 √ 3.d3 2 d6 1 .Z3 −18.d2 2 d4 1 .Z2 + 3 √ 3 2 .d2 d2 1 .Z −23 200 < 0 (6) On va procéder à la résolution des equations ci-dessus en adoptant la méthode proposée par l'annexe envoyé par l'enseignant . On remarque aussi que les deux equations ci-dessus qui ont sont sous la forme suivante aZ3 + bZ2 + cZ + d sont identique sauf par rapport à la valeur de la constante b ou la première la valeur de d = −27 200 et da la seconde d = −23 200 , donc vu cette coïncidence on optera à la résolution d'une équation qui généralisera les deux en posant uploads/s3/ devoir-2 26 .pdf