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PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚9 Pour le mardi 4 janvier 2011   Devoir Maison n˚9 À rendre pour le mardi 4 janvier 2011 Électromagnétisme I Champ électromagnétique dans un condensateur plan cylindrique Un condensateur plan est constitué par des armatures métalliques circulaires de rayon R et de même axe ∆= z′z, séparées d’une hauteur h (figure 1). Ce condensateur est soumis à une tension alternative donnée, de fréquence f = ω/2π, qui produit à l’instant t dans l’espace vide entre les armatures un champ − → E = ⃗ e0 cos(ωt), uniforme, sinusoïdal dans le temps et axial (c’est à dire parallèle à l’axe ∆), qu’on écrit en notation complexe : − → E 0 = ⃗ e0 eiωt où ⃗ e0 est l’amplitude du champ − → E 0. Figure 1 – Le champ électrique − → E 0 crée un champ magnétique − → B 1, lequel engendre un champ électrique − → E 2, qui crée à son tour un champ magnétique − → B 3, qui engendre − → E 4, etc. Dans tout le problème, on négligera les effets de bord. I.A. Calcul des champs ⃗ B1 et ⃗ E2 1. Les variations dans le temps du champ électrique − → E 0 créent un champ magnétique − → B 1. On veut calculer − → B 1. (a) En un point M entre les plaques, donner l’équation de Maxwell à laquelle satisfait − → B 1(M, t) en fonction de ω, c (la célérité de la lumière dans le vide) et − → E 0. Tristan Brunier Page 1/7 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚9 Pour le mardi 4 janvier 2011 (b) On utilise les coordonnées cylindriques. Montrer que − → B 1(M, t) est orthoradial (c’est à dire dirigé selon ⃗ uθ. Quel est son sens au temps t ? (c) Soit le cercle C1 parallèle au plan xOy, centré sur ∆et passant par M. Calculer la circulation de − → B 1 sur le contour C1, qu’on orientera comme − → B 1. En déduire l’expression de − → B 1(M, t) en fonction de c, X = ωρ 2c et − → E 0. Quelle est la dimension de X ? 2. Les variations dans le temps du champ magnétique − → B 1 créent un champ électrique − → E 2. On veut calculer − → E 2. (a) Quelle relation lie − → E 2 à − → B 1 ? En déduire l’équation de Maxwell satisfaite par − → E 2(M, t) en fonction de c, X, ω et − → E 0. (b) Sans faire de calculs, montrer que l’on peut supposer − → E 2 axial. (c) Soit le contour orienté rectangulaire C2 (figure 2) dans un plan méridien : Figure 2 – Calculer la circulation de − → E 2 sur C2. En déduire l’expression de − → E 2(M, t) en fonction de X et − → E 0 en prenant − → E 2(ρ = 0) = − → 0 . Justifier ce choix. I.B. Comportement à basse fréquence A basse fréquence (X ≪1) on néglige les termes en X de degré supérieur à 2. 3. Exprimer, dans ces conditions, le champ magnétique total − → B BF(M, t) et le champ électrique to- tal − → E BF(M, t) qui règnent en M à l’instant t à l’intérieur du condensateur, en fonction de c, X et − → E 0. 4. Étude énergétique (a) Calculer la densité volumique instantanée ue(t) d’énergie électrique et la densité volumique instantanée um(t) d’énergie magnétique dans le condensateur en fonction de ε0 (la permittivité du vide), X, ωt et e0 = ∥⃗ e0∥. (b) On note ⟨ue,m⟩t les moyennes temporelles correspondantes. Exprimer, en fonction de X, le rapport ⟨um⟩t ⟨ue⟩t . Que concluez-vous ? Tristan Brunier Page 2/7 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚9 Pour le mardi 4 janvier 2011 5. Puissance rayonnée (a) Soit − → Π le vecteur de Poynting associé à ce champ électromagnétique. Calculer − → Π à l’ordre le plus bas en X, en fonction de ε0, c, X, e0 et ωt. (b) En déduire que les échanges par rayonnement se limitent à la surface latérale du condensateur. Calculer la puissance rayonnée instantanée P(t) et en déduire ⟨P(t)⟩t. Comment interprétez-vous ce résultat ? I.C. Comportement à haute fréquence À haute fréquence, on ne peut plus négliger les termes en X de degré supérieur à 2. On va donc calculer − → B 3 dont − → E 2 est la source, − → E 4 dont − → B 3 est la source, etc. 6. Donner l’orientation de − → B 3. Quelle est l’équation satisfaite par − → B 3 ? Calculer la circulation de − → B 3 sur C1 et en déduire l’expression de − → B 3(M, t) en fonction de c, X et − → E 0. 7. Calculer − → E 4(M, t). 8. Expression des champs − → E 2n et − → B 2n+1. (a) On veut calculer par récurrence l’expression de − → E 2n. On suppose que : − → E 2n(M, t) = 1 (n!)2 (iX)2n vE0( En déduire − → B 2n+1(M, t). (b) Calculer alors − → E 2n+2(M, t). Que concluez-vous ? 9. Étude du champ électrique (a) Montrer que le champ électrique total − → E (M, t) qui règne à l’intérieur du condensateur s’exprime simplement en fonction de − → E 0 et de la fonction de Bessel J0(x) (donnée en annexe), à condition d’attribuer à x une expression littérale qu’on donnera. (b) Décrire la configuration du champ − → E (M, t) et examiner ses variations en fonction de ω. Montrer qu’à la périphérie du condensateur, certaines valeurs de ω annulent le champ électrique. 10. Réalisation d’une cavité : on ferme le condensateur au niveau de sa surface latérale ρ = R par une feuille d’aluminium assimilé à un conducteur parfait. On cherche les fréquences propres de la cavité ainsi constituée, c’est-à-dire les fréquences particulières permettant l’existence d’une onde décrite par − → E = P n − → E 2n avec les notations du paragraphe précédent. (a) Quelles sont les conditions aux limites imposées aux champs − → E et − → B par la présence de la feuille d’aluminium ? (b) Quelles sont les pulsations possibles pour le champ électromagnétique dans cette cavité cylin- drique ? (c) On excite la cavité à l’aide d’un générateur électrique délivrant une tension sinusoïdale de fréquence f aux bornes du condensateur. On constate expérimentalement que l’amplitude du champ dans la cavité prend des valeurs très importantes pour certaines fréquences fi. Comment appelle-t-on ce phénomène ? (d) Calculer la fréquence f1 la plus basse du champ − → E 0 dans la cavité pour R = 4.10−2 m. On donne c = 3.108 m.s−1 . 11. Étude du champ magnétique Tristan Brunier Page 3/7 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚9 Pour le mardi 4 janvier 2011 (a) Dans une étude simplifiée du champ magnétique total − → B (M, t) qui règne dans la cavité, on ne retient que les deux premiers termes du développement en série. Donner dans ces conditions l’expression de − → B ρ R  sachant que l’on se place à ω = 2,4c R . On considère la fonction y ρ R ! = c i− → E 0 − → B ρ R ! Quelle est la dimension de y ? Montrer que y ρ R  est de la forme y ρ R ! = α ρ R −β ρ R !3 où α et β sont des coefficients numériques qu’on donnera. Montrer que cette fonction passe par un maximum pour une valeur ρmax de ρ. En déduire son graphe. (b) Caractériser la densité de courant dans la paroi latérale de la cavité. Donner son expression en fonction de µ0 (la perméabilité du vide) et B(ρ = R). Application numérique : Calculer sa valeur sachant que E0 = 106 v.m−1 . On rappelle que µ0 = 4π.10−7 H.m−1 . 12. Comment seraient modifiés qualitativement les résultats précédents si on tient compte de la valeur finie de la conductivité de l’aluminium ? I.D. Calcul direct du champ électrique total E Au lieu de calculer le champ total sous forme d’une série, on souhaite calculer directement le champ électrique − → E qui règne entre les armatures. 13. Obtenir l’équation générale de propagation qui relie les dérivées partielles d’un champ électrique. 14. On cherche à cette équation une solution axiale, ayant la symétrie du cylindre (invariance par rotation et par translation selon l’axe de révolution), qu’on écrit en notation complexe : − → E (M, t) = E(ρ) eiωt ⃗ uz Donner l’équation différentielle du second ordre satisfaite par la fonction scalaire E(ρ) pour une fréquence donnée. 15. Montrer, par un uploads/s3/ dm-9-electromagnetisme.pdf

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