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V. SMIRNOV COURS de ,. MATHEMATIQUES SUPÉRIEURES tome IV deuxième partie ~DITIO

V. SMIRNOV COURS de ,. MATHEMATIQUES SUPÉRIEURES tome IV deuxième partie ~DITIONS MIR • MOSCOU Traduit du rùsse par Djtlali Embarek " , " © lfSAaTeXbCTBO «HaYKal) fxaBHaH peAaK~IUI «Ï>I13I1KO-MaTeMaTiPIeCKOH JI1ITepaTypLI, 1981, C I13MeHeHIIHMII © Traduction française Editions Mir 1984 Préface TABLE DES MATIERES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 CHAPITRE PREMIER. TH~ORIE G~NÉRALE DES ÉQUATIONS AUX D~RIVÉES PARTIELLES • . • . . . • fO 1-1. Equations du premier ordre • • • • • • • • . • • • • •• fO 1-1-1. Equations linéaires à deux variables indépendantes (10). 1-1-2. Problème de Cauchy et caractéristiques (13). 1-1-3. Cas d'un nombre quelconque de variables (18). 1-1-4. Exemples (23). 1-1-5. Théorème auxiliaire (24). 1-1-6. Equations non linéaires du premier ordre (28). 1-1-7. Variétés caractéristi- ques (32). 1-1-8. Méthode de Cauchy (32). 1-1-9. Problème de Cauchy (35). 1-1-10. Unicité de la solution (37). 1-1-11. Cas singulier (40). 1-1-12. Cas d'un nombre quelconque de va- riables indépendantes (42). 1-1-13. Intégrales complète, géné- rale et singulière (45). 1-1-14. Intégrale complète et problème de Cauchy (47). 1-1-15. Exemples (49). 1-1-16. Cas d'un nombre quelconque de variables (53). 1-1-17. Théorème de J aco- bi (55). 1-1-18. Systèmes de deux équations du premier ordre (57). 1-1-19. Méthode de Lagrange-Charpie (59). 1-1-20. Sys- tèmes d'équations linéaires (61). 1-1-21. Systèmes complets et jacobiens (63). 1-1-22. Intégration des systèmes complets (65). 1-1-23. Crochet de Poisson (66). 1-1-24. Méthode de Jacobi (69). 1-1-25. Systèmes canoniques (71). 1-1-26. Exemples (72). 1-1-27. Méthode des séries majorantes (73). 1-1-28. Théorème de Kovalevskaïa (76). 1-1-29. Equations d'ordre supérieur (82). 1-2. Equations d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. 84 1-2-1. Types d'équations du second ordre (84). 1-2-2. Equations à coefficients constants (86). 1-2-3. Formes normales dans le cas de deux variables indépt'ndantes (88). 1-2-4. Problème de Cauchy (91). 1-2-5. Bandes caractéristiques (94). 1-2-6. Dérivées d'ordre supérieur (96). 1-2-7. Caractéristiques réelles et imaginaires (99). 1-2-8. Théorèmes fondamentaux (100). 1-2-9. Intégrales intermédiaires (102). 1-2-10. Equations de Monge-Ampère (103). 1-2-11. Caractéristiques dans le cas de n variables (104). 1-2-12. Bicaractéristiques (107). 1-2-13. Lien avec un problème variationnel (111). 1-2-14. Propagation de la surface de discontinuité (113). 1-2-15. Discontinuités fortes (116). 1-2-16. Méthode de Riemann (119). 1-2-17. Conditions initiales 6 TABLE DES MATŒRES caractéristiques (124). 1-2-18. Théorèmes d'existence (125). 1-2-19. Formule d'intégration par parties et formule de Green (130). 1-2-20. Méthode de Volterra (132). 1-2-21. Formule de Sobolev (136). 1-2-22. Formule de Sobolev (suite) (140). 1-2-23. Construction de la fonction cr (142). 1-2-24. Conditions initiales générales (14'i). 1-2-25. Equation des ondes généralisée (149). 1-2-26. Cas d'un nombre quelconque de variables indé- pendantes (151). 1-2-27. Inégalité énergétique (154). 1-2-28. Théorèmes d'unicité et de dépendance continue des solutions (160). 1-2-29. Cas de l'équation des ondes (163). 1-2-30. Théorè- me d'immersion dans l'espace des fonctions continues et cer- taines de ses conséquences (166). 1-2-31. Solutions distribu- tionnelles des équations du second ordre (171). 1-2-32. Sur l'existence et l'unicité des solutions distributionnelles du problème de Cauchy pour l'équation des ondes (177). 1-2-33. Equations de type elliptique (178). 1-3. Systèmes d'équations 184 1-3-1. Caractéristiques de systèmes d'é~uations (184). 1-3-2. Conditions cinématiques de compatibilite (188). 1-3-3. Condi- . tions dyn~m,iq:ue~ <;le cQmpa.tibilité (191). 1-3-4. Equations de l'hydrodynamique (192). 1-3-5. Equations de la théorie de l'élasticité (196). 1-3-6. Corps élastique anisotrope (198). 1-3-7. Ondes électromagnétiques (200). 1-3-8. Discontinuités fortes en théorie de' l'élasticité (204): 1-3-9. Caractéristiques et hautes fréquences (208). 1-3-10. Cas de deux variables indé- pendantes (210). 1-3-11. Exemples (212). CHAPITRE II. PROBL~MES AUX LIMITES ... . . . . . . . .• 215 11-1. Problèmes aux limites pour une équation différentielle ordi- naire . . . . . . . . . . • . . .• 2t5 II-1-1. Fenction de Green relative à une équation linéaire du second ordre (215). 11-1-2. Réduction à une équation intégrale (219). 11-1-3. Symétrie de la fonction de Green (221). 11-1-4. Valeurs et fonctions propres du problème aux limites (223). 11-1-5. Signe des valeurs propres (225). 11-1-6. Exemples (227). 11-1-7. Distribution de Green (229). 11-1-8. Polynômes de Le- gendre (234). 11-1-9. Fonctions d'Hermite et de Laguerre (238). 11-1-10. Equations du quatrième ordre (240). 11-1-11. Théorè- mes de décomposition de Stéklov précisés (241). 11-1-12. Justi- fication de la méthode de Fourier pour l'équation de la cha- leur (246). 11-1-13. Justification de la méthode de Fourier pour l'équation des vibrations (249). 11-1-14. Théorèmes d'uni- cité (252). 11-1-15. Propriétés extrémales des valeurs et fonc- tions propres (254). 11-1-16. Théorème de Courant (258). 11-1-17. Expression asymptotique des valeurs propres (260). II-1-18. Expression asymptotique des fonctions propres (264). 11-1-19. Méthode de Ritz (267). 11-1-20. Exemple de Ritz (268). 11-2. Equations de type elliptique • . • . . . . . . . . . . •. 270 11-2-1. Potentiel newtonien (270). 11-2-2. Potentiel de double couche (274). 11-2-3. Propriétés du potentiel de simple couche (281). II-2-4. Dérivée normale du potentiel de simple couche (283). 11-2-5. Dérivée normale du potentiel de simple couche (suite) (285). 11-2-6. Valeur directe de la dérivée normale (287). .TABLE DES MATI:Il:RES 11-2-7: Dérivée du potentiel de simple couche suivant une direc- tion quelconque (290). 11-2-8. Potentiel logarithmique (294). 11-2-9. Formules intégrales et surfaces parallèles (296). 11-2-10. Suites de fonctions harmoniques (301). 11-2-11. Position des problèmes aux limites intérieurs pour l'équation de Laplace (304). 11-2-12. Problèmes extérieurs pour le plan (306). 11-2-13. Transformation de Kelvin (310). 11-2-14. Unicité de la solu- tion du problème de Neumann (313). 11-2-15. Résolution des problèmes aux limites dans l'espace (316)•. 11-2-16. Etude des équations intégrales (318). 11-2-17. Sommaire des résultats re- latifs aux solutions des problèmes aux limites (323). 11-2-18. Problèmes aux limites dans le plan (325). 11-2-19. Equation -intégrale pour fonctions sphériques (327). 11-2-20. Equilibre thermique d'un corps. rayonnant (329). 11-2-21. Méthode de Schwarz (330). 11-2-22. Démonstration du lemme (332). 11-2-23. Méthode de Schwarz (suite) (334). I1-2-24. Fonctions sub- et :superharmoniques (338). II-2-25. Propositions auxiliaires (340). 11-2-26. Méthodes des fonctions inférieures et supérieures (342). 11-2-27: Etude des valeurs frontières (345). II-2-28. Eqùation de Laplace dans un espace à n dimensions (350). 11-2-29. Fonction de Green de l'opérateur de Laplace (351). II-2-30. Propriétés de la fonction de Green (354). 11-2-31. Fonction de Green dans le plan (357). II-2-32. Exemples (361). II-2-33. Fonction de Green et équation avec second membre (363). II-2-34. Valeurs et fonctions propres (366). II-2-35. Dérivée normale d'une fonction propre ·(371). 11-2-36. Propriétés extré- males des valeurs et fonctions propres (372). II-2-37. Equation de Helmholtz et principe de radiation (374). II-2-38. Théorème d'unicité (376). II-2-39. Principe de l'amplitude limite et prin- dpe de l'absorption limite (378). 11-2-40. Problèmes aux limi- tes pour l'équation de Helmholtz (380). 11-2-41. Diffraction de l'onde électromagnétique (386). 11-2-42. Vecteur intensité magnétique (387). 11-2-43. Unicité de la solution du problème de Dirichlet pour équations elliptiques (389). II-2-44. L'équa- tion IJ.v - 'Av = 0 (393). 11-2-45. Expression asymptotique des valeurs propres (398). II-2-46. Démonstration du théorème auxiliaire (404). 11-2-47. Equations linéaires de forme plus générale (412). 11-2-48. Tenseur de Green (414). 11-2-49. Problème statique plan de la théorie de l'élasticité (416). I1-2-50. Sur les résultats de Schauder (418). 11-2-51. Solutions distributionnelles de la classe ~ (D) (421). I1-2-52. Première inégalité fondamentale (ou énergétique) (427). II-2-53. L'espace W~'Q (D) et la deuxième inégalité fondamentale (430). II-2-54. Quelques considérations sur les espaces hilbertiens et les opéra- teurs opérant dans ces derniers (439). 11-2-55. Sur la résolubilité du problème de Dirichlet dans l'espace ~ (D) (443). I1-2-56. Sur la résolubilité au sens de Fredholm du problème de Dirich- let (447). 11-2-57. Sur le spectre d'un opérateur symétrique (454). 7 11-3. Equations de types parabolique et hyperbolique . . . . .. 460 I1-3-1. Dépendance des solutions de l'équation de la chaleur par rapport aux conditions initiales, aux conditions aux limi- tes et au second membre (460). 11-3-2. Potentiels pour l'équa- tion de la chaleur en dimension un (462). 11-3-3. Sources de chaleur en dimension n (465). I1-3-4. Fonction de Green pour l'équation de la chaleur (467). 11-3-5. Usage de la transforma- 8 TABLE DES MATmRES tion de Laplace (468). II-3-6. Application des différences fi- nies (472). II-3-7. Méthode de Fourier pour l'équation de la chaleur (475). II-3-8. Equation avec second membre (478). II-3-9. Propriétés des solutions de l'équation de la chaleur (481). II-3-iO. Potentiels de simple et· de double couche généralisés en dimension un (484). II-3-H. Fonctions sub- et superparaboli- ques (490). II-3-12. Equations paraboliques générales. Inégali- té énergétique (491). 11-3-13. Méthode de Fourier pour les équations paraboliques (495). II-3-14. Deuxième inégalité fon- damentale et existence de la solution du problème de Dirichlet- Cauchy (502). 11-3-15. Equations hyperboliques de forme ~né raIe. Inégalité énergétique pour le problème de Dirichlet-eau- chy (506). II-3-16. Méthode de Fourier pour les équations hy- perboliques (509). 11-3-17. Problème aux limites pour la sphère (515). 11-3-18. Vibrations de l'intérieur de la sphère (519). II-3-19. Discussion de la solution (523). 11-3-20. Problème aux limites pour l'équation des télégraphistes (526). Index .. uploads/s3/ cours-de-mathematique-superieures-tome-iv-partie-2.pdf