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Chapitre 7 Terminale S Fonction Logarithme népérien Ce que dit le programme : C

Chapitre 7 Terminale S Fonction Logarithme népérien Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien x a ln x.  Connaître le sens de variation, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. On peut introduire la fonction logarithme népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l’équation fonctionnelle. Relation fonctionnelle, dérivée.  Utiliser, pour a réel strictement positif et b réel, l’équivalence : lna=b ⇔a=e b.  Utiliser la relation fonctionnelle pour tansformer une écriture.  Connaître et exploiter lim x →+∞ ln x x =0. On souligne dans les cadres algébrique et graphique que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l’une de l’autre. Tout développement théorique sur les fonctions réciproques est exclu. On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction logarithme en 1 et la limite en 0 de ln(1+x) x . On évoque la fonction logarithme décimal pour son utilité dans les autres disciplines.  [SI] Gain lié à une fonction de transfert.  [SPC] Intensité sonore, magnitude d’un séisme, échelle des pH. (AP) équations fonctionnelles. 1. De l'exponentielle au logarithme 1.1) La fonction logarithme népérien On sait que la fonction exponentielle est définie, dérivable (donc continue) et strictement croissante sur ℝet prend ses valeurs dans ℝ +∗=]0 ;+∞[. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout nombre réel x strictement positif, admet un unique antécédent t∈ℝpar la fonction exponentielle. Autrement dit : Pour tout nombre réel strictement positif, l'équation et = x , d'inconnue t, admet une solution unique t∈ℝ. Théorème et définition : Pour tout nombre réel strictement positif, l'équation et = x , d'inconnue t, admet une solution unique t∈ℝ. La fonction qui, à tout nombre x > 0, associe l'unique solution de l'équation et = x, s'appelle la fonction logarithme népérien et se note ln (lire « L,N »). On écrit t = ln(x) ou simplement t = ln x. Exemples : i) Pour x = −7, l'équation et = −7, n'admet aucune solution car et > 0 pour tout t∈ℝ. Donc ln (−7) n'existe pas. Il en est de même pour ln x, pour tout x⩽0. ii) Pour x =1, l'équation e t=1⇔e t=e 0⇔t=0. Donc, cette équation admet une unique solution t = 0. Par conséquent, ln 1 = 0. iii)Pour x = e , l'équation et=e⇔et=e1⇔t=1. Donc, cette équation admet une unique solution t = 1. Par conséquent, ln e = 1. Term.S – Ch07 – La fonction logarithme népérien ©ABOUHAZIM Abdellatif. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 1/10 iv) Pour x = 5, par définition de la fonction ln, l'équation et=5 admet une unique solution t = ln 5. A l'aide de la calculatrice, on peut déterminer une valeur approchée de ln 5 en utilisant la fonction exponentielle. On calcule e1 = e = 2,71828... et e2=7,3890... comme e1< 5< e2, on en déduit que 1< t < 2, c'est-à-dire 1< ln 5 < 2. On rentre Y= e^X dans la calculatrice et, en prenant des pas de 0,1 puis 0,01 et 0,001 puis 0,0001, on obtient t=ln 5≃1,6094. Résultat qu'on peut obtenir directement sur calculatrice en tapant : ln(5). Conséquences immédiates : 1°) Le domaine de définition de la fonction ln ainsi définie est : D=ℝ+∗=]0 ;+∞[. ln :]0 ;+ ∞[→ℝ x a ln x 2°) D'après ce qui précède, on a : ln 1 = 0 et ln e = 1 (P0). 1.2) Propriétés de réciprocité Propriétes et definition : 1°) Pour tout nombre réel x strictement positif, on a : e ln x=x. (P1a) 2°) Pour tout nombre réel x, on a : ln(e x)=x. (P1b) On dit que les fonctions exp et ln sont réciproques l'une de l'autre. Autrement dit : Pour tout réel a strictement positif et tout réel b, on a : b=lna ⇔eb=a (P1c). Démonstration : 1°) On sait que, pour tout nombre réel x> 0, l'équation et = x, d'inconnue t, admet une solution unique t = ln x. En remplaçant t par ln x, on obtient eln x=x. CQFD. 2°) Soit x un nombre réel. On pose : X=ex . Alors X > 0. Or, on sait que, pour tout nombre réel X > 0, l'équation et =X , d'inconnue t, admet une solution unique t = ln X , c'est-à-dire t = ln (ex). D'autre part, on sait que : e t= X ⇔e t=e x⇔t=x. d'après les propriétés de la fonction exponentielle. Finalement, par unicité de la solution, on obtient : ln (ex) = x. CQFD. 1.3) Sens de variation et limites graphiques Dans un repère orthonormé (O ;⃗ i;⃗ j), les courbes Cexp et Cln des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice, c'est-à-dire par rapport à la droite Δ d'équation y = x. M (x ; y) ∈Cln [ ⇔y = ln x] [ ⇔x = e y ] ⇔M'(y ; x) ∈Cexp Voir figure page suivante. Propriétes : 1°) La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+ ∞[ . 2°) Limites graphiques : a) L1 : lim x →0 x>0 ln x=−∞et b) L2 : lim x →+∞ln x=+∞ Term.S – Ch07 – La fonction logarithme népérien ©ABOUHAZIM Abdellatif. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 2/10 Démonstrations : 1°) Soient a et b deux nombres réels tels que 0 < a < b. D'après les propriétés de réciprocité, on sait que a = ln (ea) et b = ln (eb) . Par hypothèse, a < b, donc eln a < eln b . Or, on sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, donc ln a < ln b. CQFD. 2.a) Limite en 0+. Soit A un nombre réel négatif quelconque. Pour tout réel strictement positif x, on a : ln x < A équivaut à eln x < eA, puisque la fonction exponentielle est strictement croissante équivaut à 0 < x < eA, d'après les propriétés de réciprocité. Par suite, pour tout réel strictement positif x : si 0 < x < eA, alors ln x < A . Donc la fonction ln est inférieure à tout nombre négatif choisi au départ, à partir d'un certain rang. Donc : lim x →0 x>0 ln x=−∞ 2.b) Limite en + ∞ Soit A un nombre réel positif quelconque. Pour tout réel strictement positif x, on a : ln x > A équivaut à eln x > eA, puisque la fonction exp est strictement croissante équivaut à x > eA, d'après les propriétés de réciprocité. Par suite, pour tout réel strictement positif x : si x > eA, alors ln x > A. Donc la fonction ln est supérieure à tout nombre positif choisi au départ, à partir d'un certain rang. Donc : lim x →+∞ln x=+∞ Consequences immediates : Propriétes : La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0 ;+ ∞[ : 1°) Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a l'équivalence : (P3) ln a = ln b si et seulement si a=b 2°) Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a l'équivalence : (P4) ln a < ln b si et seulement si a< b (P4bis) ln aln b si et seulement si ab Term.S – Ch07 – La fonction logarithme népérien ©ABOUHAZIM Abdellatif. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/10 3°) En particulier : pour tout nombre réel x> 0, le signe de ln x est donné par : (P5) ln x > 0 si et seulement si x> 1 ln x < 0 si et seulement si 0< x< 1 Ces propriétés nous permettent de résoudre des équations et des inéquations. Exemples : 1°) Résoudre l'équation : e2x +1 = 3 (E) Tout d'abord, cette équation est définie pour tout x∈ℝ. Donc D E=ℝ. On sait que pour tous réels a et b strictement positifs : ln a = ln b équivaut à a = b. Donc, en appliquant le logarithme aux deux membres de cette équation, on obtient : ln(e2x +1) = ln 3. Ce qui donne 2 x + 1 = ln 3. Par suite : x=−1+ln 3 2 Conclusion : Cette équation admet une seule solution et on a : S={ −1+ln3 2 } 2°) Résoudre l'inéquation : e2x +13 (E') Tout d'abord, cette inéquation est définie pour tout x∈ℝ. Donc D E=ℝ. On sait que pour tous a et b : ab équivaut à ln a ln b. Donc, en appliquant le logarithme aux deux membres de cette inéquation, on obtient : ln(e2x +1) ln 3. Ce qui donne 2 x1ln 3. Par suite : x⩽−1+ln 3 2 Conclusion : Cette inéquation admet pour ensemble solutions : S=]−∞;−1+ln3 2 ] II. Étude de la fonction logarithme népérien 2.1) Fonction dérivée de ln Propriéte : La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0 ;+∞[ et pour x >0 : ln' (x)= 1 x . Démonstration : Soit x0 un nombre réel strictement positif. Montrons que la fonction uploads/s3/ fonction-ln-pdf.pdf