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2020-2021 Devoir théorie du signal Exercice 1 : Échantillonnage d’un signal pas

2020-2021 Devoir théorie du signal Exercice 1 : Échantillonnage d’un signal passe-bande 1- On considère le signal x (t )=x +¿( t )+x −¿(t) ¿ ¿ déﬁni comme suit: x +¿(t )=B sin(πBt) (πBt ) e j 2π f 0t et x −¿(t )=Bsin (πBt ) ( πBt) e −j 2πf 0t ¿ ¿ Avec f0 =8kHz et B =1kHz. Déterminer la transformée de Fourier du signal x(t) et représenter la graphiquement. 2- Rappeler l’expression du signal xe(t) obtenu par échantillonnage idéal de x(t) à la fréquence Fe. Déterminer la transformée de Fourier de xe(t) notée Xe(f). Comment s’écrit la condition de Shannon pour le signal x(t)? 3- On échantillonne le signal x(t) à la fréquence Fe =6kHz. Représenter graphiquement la transformée de Fourier du signal échantillonné xe(t) dans la bande [−9kHz, 9kHz]. On désire restituer le signal x(t) à partir de xe(t) par un ﬁltrage de transmittance (fonction de transfert) H(f). • 1er cas : H(f)= πF(f) avec F =6kHz. Montrer que le signal restitué par ce ﬁltre noté xr(t) a une expression temporelle similaire à celle de s(t) mais obtenue en remplaçant f0 par une autre fréquence que l’on précisera. • 2éme cas : H(f)=πB(f +f0)+ πB(f−f0) (avec f0 =8kHz et B =1kHz comme précédemment). Quel est le signal restitué xr(t)? En vous appuyant sur les résultats obtenus ci-dessus, expliquer s’il est possible de restituer un signal passe-bande échantillonné sans respecter la condition de Shannon. Exercice 2 : Corrélation et densité spectrale 1- Montrer que si x(t) est périodique de période T alors la fonction d’autocorrélation Rxx est également périodique de période T. 2- Démontrer que pour les signaux réels à énergie finie, la relation suivante est vérifiée : Rxx(τ )≤Rxx(0 ) 3- Le principe d’un radar consiste à émettre un signal de courte durée u(t) qui, réfléchi par la cible , revient à l’émetteur après une durée t1 proportionnelle à la distance de l’émetteur à la cible . Le signal reçu par le radar x(t), étant affaibli et bruité, on utilise le maximum de la fonction de corrélation pour estimer la valeur de t1. soit x(t) = A.u(t − t1), montrer que Rxu(τ) est maximum en t1. 4- Calculer les fonctions d’autocorrélation et de densité spectrale des fonctions suivantes : x (t )=ε (t)e −at avec a>0. y (t)=cos( π 2 t) π2(t ). uploads/s3/ devoir-corona.pdf