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SÉRIES DE FOURIER par J. Monnier, professeur INSA Toulouse. Jerome.Monnier@insa

SÉRIES DE FOURIER par J. Monnier, professeur INSA Toulouse. Jerome.Monnier@insa-toulouse.fr Janvier 2019 Résumé. Introduction aux séries de Fourier, un outil mathématique de base pour l’ingénieur. Public visé : étudiants, professionnels en formation continue, cycle préparatoire de notre école d’ingénieur INSA. Table des matières 1. Introduction 1 1 2. Les séries et premier exemple de série de Fourier 3 2.1. Les séries : (très) bref rappel 2 3 2.2. Les séries trigonométriques 4 2.3. Un exemple bien choisi de développement en série de Fourier 5 3. Expression des coeﬃcients des séries de Fourier 7 3.1. Expression des coeﬃcients forme réelle 7 3.2. Expression des coeﬃcients forme complexe 9 3.3. Remarques 10 3.4. Théorème de Jordan-Dirichlet : conditions suﬃsantes de convergence 13 Et dans le cas d’une fonction non périodique ? 14 4. Exemples de développements de fonctions en séries de Fourier 15 4.1. Fonction chapeau, continue 15 4.2. Fonction linéaire par morceaux, discontinue 15 4.3. Fonction créneau (discontinue) 16 1. Introduction 3 Les séries de Fourier constituent un outil fondamental pour étudier les phénomènes, fonctions pério- diques. En ingénierie elles sont utiles dans la décomposition de signaux périodiques tels que des courants électriques, des ondes cérébrales, des ondes sonores, des images etc. 1. Introduction largement inspirée de la page Wikipedia et aussi d’un exemple présenté dans le cours de N. Pottier de l’université Paris 7. 2. Elements de base disponibles dans tout bon cours ou encore sur la page ad-hoc de Wikipedia. 3. Introduction largement inspirée de la page Wikipedia et aussi d’un exemple présenté dans le cours de N. Pottier de l’université Paris 7. 1 SÉRIES DE FOURIER 2 Figure 1.1. J.-B. Joseph Fourier (1768- 1830), mathématicien et physicien français. J. Fourier est connu pour avoir déterminé, par le calcul, la diﬀusion de la chaleur en utilisant la décomposi- tion d’une fonction quelconque en une série trigonométrique convergente i.e. les séries de Fourier. La méthode de calcul permettant de passer, de façon réversible, d’une fonction à la série tri- gonométrique correspondante est la transformation de Fourier. Cette méthode très féconde est devenue incontournable en théorie du signal, imagerie numérique, compression de données, dans l’exploitation des systèmes 3G, 4G. Extrait de Wikipedia. Considérons un signal basique : la vibration d’un diapason. Quand le diapason vibre, il fait vibrer les molécules d’air. En un point x et au temps t, la variation pression de l’air p produite par le diapason (p caractérise l’onde sonore) est une onde sinusoidale pure de pulsation ! = 2⇡v/λ et de vecteur d’onde k = 2⇡/λ ; v la célérité de l’onde et λ sa longueur d’onde. On a alors : p(x, t) = Acos(kx −!t). Si l’on émet simultanément plusieurs sons de fréquences diﬀérentes, la pression résultante n’est pas une simple fonction sinusoïdale mais une somme de plusieurs fonctions sinusoïdales. De même, si l’on joue une note de piano, on n’obtient pas une onde sonore de fréquence unique mais un son fondamental accompagné d’autres sons (les harmoniques) de fréquences égales à n fois celle du son fondamental, n nombre entier. Si sin(!t) et cos(!t) correspondent à la fréquence fondamentale, sin(n!t) et cos(n!t) correspondent aux harmoniques. La combinaison du fondamental et des harmoniques est alors une fonction potentiellement compliquée mais périodique de période celle du fondamental. En fait un signal de “forme” quelconque mais périodique de fréquence f peut être obtenu en ajoutant : une sinusoïde de fréquence f (appelée fondamentale) et des sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de f (ces sinusoides ayant des amplitudes et des phases appropriées). En général, il est nécessaire pour cela d’écrire toutes les harmoniques c’est-à-dire une somme inﬁnie de termes i.e. une série. Cette série est appelée série de Fourier. Etudier une fonction périodique F à l’aide des séries de Fourier consiste généralement à : a) la décom- poser en ses diﬀérents harmoniques i.e. déterminer les coeﬃcients de sa série de Fourier ; b) retrouver F à partir de ses coeﬃcients de Fourier. Cette “analyse de Fourier” peut être considérée comme une façon de décrire les fonctions périodiques. Des opérations telles que la dérivation s’écrivent simplement à partir des coeﬃcients de Fourier. Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822. Ces séries ont ensuite constitué une des bases de plusieurs branches fondamentales des mathématiques : analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes. SÉRIES DE FOURIER 3 Figure 1.2. (G) Exemple de fonction continue, périodique, décomposable en série de Fourier. (D) Fonction créneau (constante par morceaux avec discontinuités) ; décomposition par- tielle (4 premiers modes) du signal périodique. En bleu la fonction ; en rouge sa décomposition avec 1, 2, 3 et 4 modes (uniquement). Images extraites du web. 2. Les séries et premier exemple de série de Fourier 2.1. Les séries : (très) bref rappel 4. 2.1.1. Déﬁnition. En mathématiques, la notion de série généralise la notion de somme ﬁnie. Étant donnée une suite de terme général un, étudier la série de terme général un consiste à étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (un)n2N. Autrement dit, on étudie le comportement de la suite de terme général SN déﬁni par : (2.1) SN = u0 + u1 + ... + un = N X k=0 uk L’étude d’une série commence par étudier si sa limite (en N) existe ou non. Si sa limite existe, la série est dite convergente, sinon elle est dite divergente. Si SN est convergente, on note : S = limN!1 PN k=0 uk ⌘P+1 k=0 uk. Plusieurs techniques permettent de déterminer la nature convergence ou non d’une série sans eﬀectuer son calcul explicite. Pour les séries à termes positifs, il existe des techniques d’analyse basées sur un principe de compa- raison ; comparaison notamment aux séries de références de Riemann. 4. Elements de base disponibles dans tout bon cours ou encore sur la page ad-hoc de Wikipedia. SÉRIES DE FOURIER 4 2.1.2. Un exemple de calcul explicite. Il est rare de pouvoir calculer explicitement l’expression des sommes partielles qui plus est des sommes inﬁnies. Les séries géométriques font partie des exceptions à savoir les quelques séries usuelles que nous savons calculer explicitement. Une série est dite géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant appelé la raison. La série de terme général zk s’écrit : SN = PN k=0 zk . On montre facilement que : SN = 1−zN+1 1−z si z 6= 1 (et SN = (N + 1) sinon). SN est donc convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) z vériﬁe : |z| < 1. Auquel cas on a : S = 1 1−z (en eﬀet on a dans ce cas : |zk| !+1 0). Exemples de séries géométriques : P n≥0 # 1 3 $n ou encore P n≥0 1 (1+i)n . Toutes deux sont des séries convergentes. 2.1.3. Les séries de Riemann. Les séries dites de Riemann sont de la forme : (2.2) X n≥1 1 n↵ où ↵est un nombre réel quelconque. La série ci-dessus est convergente si et seulement si : ↵> 1. Le cas limite ↵= 1 déﬁnit la série dite harmonique : (2.3) 1 + 1 2 + ... + 1 N La série harmonique diverge. (En fait on peut montrer que : PN k=1 1 k = ln N + γ + o(1) où γ est la constante d’Euler). Rappelons que si une série est convergente alors nécessairement son terme général un converge vers 0 : un !1 0. La réciproque est fausse ! Cf par exemple la série harmonique ci-dessus. Ces séries de Riemann peuvent également être déﬁnies pour ↵complexe ; elles sont alors convergentes si et seulement si : <e(↵) > 1. Notons que les outils d’analyse de la convergence ou non des sommes, séries « discrètes » (i.e. les séries considérées ici) sont semblables à ceux employés dans le cas des « sommes continues » i.e. les intégrales généralisées. Cf par exemple les intégrales de Riemann et le théorème de comparaison pour les intégrandes positives. Enﬁn notons aussi que la notion de série peut être étendue à des sommes inﬁnies dont les termes un ne sont pas nécessairement des nombres mais des vecteurs, fonctions ou encore des matrices. 2.2. Les séries trigonométriques. Une série trigonométrique est une série particulière de polynômes trigonométriques. La série trigonométrique possède une fréquence fondamentale f et une somme de fonctions trigonométriques de fréquence pf, p nombre entier. Une série trigonométrique peut être de forme réelle ou complexe. La somme partielle d’ordre N d’une série trigonométrique complexe s’écrit : SÉRIES DE FOURIER 5 (2.4) SN(x) = N X k=−N ck exp ✓ ik2⇡ T x ◆ Rappelons l’expression de l’exponentielle complexe : exp(iz) = cos(z) + i sin z; i2 = −1. La somme partielle d’ordre N d’une série trigonométrique réelle s’écrit : (2.5) SN(x) = 1 2a0 + N X k=1 ak cos ✓ k2⇡ T x ◆ + N X k=1 bk sin ✓ k2⇡ T x ◆ Les constantes ck (k = ... −1, 0, uploads/s3/ course-fourier-laplace.pdf