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Chapitre 2 Nombres complexes Objectifs – Connaître une déﬁnition des complexes,

Chapitre 2 Nombres complexes Objectifs – Connaître une déﬁnition des complexes, une interprétation géométrique. Savoir faire des calculs sur les com- plexes et résoudre les équations du second degré. – Connaître les notions de conjugaison, de module et d’argument d’un complexe. – Savoir calculer les racines n-ièmes d’un complexe. – Connaître la fonction exponentielle complexe. – Connaître les applications géométriques : afﬁxes, distances, angles, transformations (similitudes directes)... Sommaire I) Construction de l’ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2) Opérations sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3) Notation algébrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II) Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1) Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2) Module d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3) Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 III) Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1) Le groupe unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2) Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3) Exponentielle d’un imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4) Formules d’Euler et de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV) Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1) Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2) Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 V) Représentation géométrique des complexes, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1) Afﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2) Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3) Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4) Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 VI) Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1) Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2) Notion de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3) Morphisme de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VII) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 1 Construction de l’ensemble des complexes Chapitre 2 : Nombres complexes I) Construction de l’ensemble des complexes 1) Déﬁnition . . DÉFINITION 2.1 Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres complexes est donc l’ensemble R2. On peut alors écrire C = {(x, y) / x, y ∈R}, ou encore, ∀z ∈C, ∃x, y ∈R, z = (x, y), de plus les réels x et y sont uniques. Le réel x est appelé partie réelle de z, noté Re(z), et le réel y est appelé partie imaginaire de z, noté Im(z). 2) Opérations sur les complexes Nous allons déﬁnir dans C, deux opérations (ou lois de composition internes), une addition et une multiplication. Soient z = (x, y) et z′ = (x′, y′) deux complexes. On déﬁnit la somme z + z′ en posant : z + z′ = (x + x′, y + y′). On vériﬁe que cette loi possède des propriétés analogues à celles de l’addition des réels, à savoir : – l’associativité : ∀z,z′,z′′ ∈C, (z + z′) + z′′ = z + (z′ + z′′). – la commutativité : ∀z,z′ ∈C,z + z′ = z′ + z. – il y a un élément neutre qui est le complexe (0,0) : ∀z ∈C, z + (0,0) = (0,0) + z = z. – tout complexe z possède un opposé (noté −z) : ∀z = (x, y) ∈C, −z = (−x,−y) et z + (−z) = (−z) + z = (0,0). On déﬁnit le produit z × z′ (ou plus simplement zz′), en posant z × z′ = (x x′ −y y′, x y′ + x′ y). On vériﬁe que cette loi possède des propriétés analogues à celles de la multiplication des réels, à savoir : – l’associativité. – la commutativité. – existence d’un élément neutre, c’est le complexe (1,0). – tout complexe z non nul (ie z ̸= (0,0)) admet un inverse (noté z−1 ou 1 z ), et si z = (x, y), alors : z−1 = ( x x2 + y2 , −y x2 uploads/s3/ chap02-0910.pdf