S5 Étude de la propagation dans une fibre optique Devoir à la maison n◦3 On cons

S5 Étude de la propagation dans une fibre optique Devoir à la maison n◦3 On considère une fibre optique constituée de deux cylindres concentriques de section circulaire (cf. fig 1), et constitués l’un et l’autre de matériau isolant (la silice). L’indice de réfraction de la partie centrale, appelée cœur, est noté nC (cet indice n’est pas nécessairement uniforme : sa valeur peut être différente en fonction de la distance r à l’axe de la fibre) ; l’indice de la partie périphérique, appelée gaine, est noté nG , avec nC > nG ; l’indice de gaine est quand à lui uniforme. Le milieu extérieur est l’air, assimilé au vide est donc d’indice nair = 1. On notera f la fréquence des ondes lumineuses et c leur vitesse dans le vide. Pour les applications numériques on prendra nC=1,456 et nG=1,410 dans les deux parties. Figure 1 – Schéma d’une fibre optique Fibre optique à saut d’indice Dans une fibre à saut d’indice, le cœur (de rayon a) et la gaine sont des milieux homogènes : nC et nG sont uniformes. On note z la direction générale de propagation (cf. fig 2) 2a nG nC nG z r O ϕ i θ Figure 2 – Représentation du trajet d’un faisceau lumineux dans une couche d’épaisseur ∆r. (1) Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur (c’est-à-dire qu’il n’en sort pas) si θ est supérieur à une certaine valeur, θ L, que l’on exprimera en fonction de nC et de nG. (2) Calculer la valeur de θ L avec les valeurs numériques données en introduction. (3) On note i l’angle d’entrée du rayon à l’extérieur de la fibre. Exprimer, en fonction de nG et nC, la valeur maximale de i (notée imax) pour que le guidage soit assuré dans la fibre. Calculer sin(imax) (grandeur appelée ouverture numérique). (4) Soit L la longueur de la fibre. Exprimer la différence ∆t de temps de parcours de l’entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale (i = 0) et le trajet maximal (θ = θ L). Donner l’expression de ∆t en fonction seulement de L, nC, nG et c. (5) On convient que le débit maximal de la fibre, Rsaut, est l’inverse de ∆t . Calculer Rsaut (valeur en bits par seconde), en prenant L = 100m. Fibre à gradient d’indice Dans les fibres optiques utilisées en télécommunications, un message est constitué d’une succession de signaux (on dit quelquefois im- pulsions) binaires (présence [0] ou absence [1]). Divers phénomènes distordent les impulsions qui se propagent, ce qui entrave la reconstitution de l’information. On améliore la situation en utilisant une fibre dite à gradient d’indice. L’indice de réfraction est continu à l’intérieur de ce genre de fibre ; il varie dans le cœur avec la distance r à l’axe Oz et il est constant dans la gaine (quand r > a), avec la valeur nG. L’indice dans le cœur, est modélisé, pour 0 ≥r ≥a par n(r) = nC v u t1 − n2 C −n2 G n2 C F  r a  où F est monotone croissante sur [0,1] et F(0) = 0. 1 DM3 (6) Que doit valoir F(1) ? On propose de choisir une fonction polynomiale d’ordre 2 pour F, qui doit être paire (F(−1) = F(1)). Quelle est alors l’unique choix possible pour F : [−1,1] →R ? (7) Réécrire alors n(r). On va simplifier l’étude en s’intéressant à la partie supérieure de la fibre (r > 0). On décompose le cœur entre r = 0 et r = a en une succession de N petites couches Σ0,Σ1,...,ΣN−1, toutes d’épaisseur ∆r ≪a = N∆r. La couche Σ0 se situe entre r0 = 0 et r1 = ∆r, la couche Σ1 se situe entre r1 = ∆r et r2 = 2∆r... On suppose que dans chaque couche Σk l’indice optique est homogène et vaut nk = n(rk). On étudie la propagation d’un rayon entre deux couches successives en supposant qu’il reste toujours dans un même plan. On peut donc représenter ces couches par des rectangles successifs (cf. fig 3). r z r0 = 0 r1 = ∆r rk rk+1 (Σ0) n0 = nC (Σ1) n1 (Σk) nk (Σk+1) nk+1 i θ0 θ1 θk θk+1 Figure 3 – Représentation du trajet d’un faisceau lumineux dans une couche d’épaisseur ∆r. (8) Un rayon arrive avec un angle θk à l’interface entre Σk et Σk+1 (cf. fig 3). Il est réfracté avec un angle θk+1 dans la couche suivante. Quelle relation lie θk et θk+1 ? (9) En déduire que pour tout k, Uk = nk sin(θk) est constante. Donner sa valeur U en fonction de i et nC. (10) Dans la couche Σk, de quelle distance ∆zk le rayon lumineux a-t-il progressé latéralement dans la fibre (c’est-à-dire selon l’axe z) ? (11) Montrer que  ∆r ∆zk ‹2 = n2 k U2 −1. (12) Exprimer le temps de parcours ∆tk du rayon dans une couche Σk, en fonction de ∆r, c, U et nk. Lorsque N →∞, on peut réécrire la formule trouvée en (11) en une équation différentielle portant sur la fonction r(z) traduisant la position r en fonction de z du rayon lumineux. Voici cette équation : dr dz ‹2 = n(r)2 U2 −1 (13) Donner en fonction notamment de U, la valeur maximale de r, rmax atteinte par le rayon lumineux. (14) Pour que le rayon reste dans le cœur, quelle valeur limite doit valoir rmax ? En déduire l’ouverture numérique de cette fibre. (15) La distance parcourue par le rayon dans la fibre sera maximale pour cette valeur de rmax. Que vaut U dans ce cas-là ? Réécrire l’équation différentielle dans ce cas, en faisant intervenir r et sa dérivée par rapport à z. (16) Chercher une solution de la forme r(z) = a sin(Cz). Déterminer C (supposé positif) dans ce cas. Représenter alors le trajet lumineux dans la fibre optique. (17) Au bout de quelle distance latérale λ le rayon a-t-il parcouru le même “motif” dans la fibre ? En déduire le nombre de motifs M dans la fibre de longueur L. (18) Le temps T de parcours par le rayon en un motif est donné par l’intégrale : T = 1 c Z λ z=0 n(r) v u t dr dz ‹2 + 1  dz Justifier la forme de cette intégrale. En déduire le temps de parcours ∆tmax (alors maximal, car la distance parcourue est maximale) du rayon lumineux dans toute la fibre de longueur L. (19) Donner alors la différence ∆t′ de temps de parcours de l’entrée à la sortie entre le trajet de durée minimale et maximale. En déduire la valeur du rapport entre débits maximaux de la fibre à gradient d’indice et de celle à saut d’indice Rgrad Rsaut . Commenter. 2/2 uploads/s3/ dm3-fibreoptique.pdf

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