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Devoir de Physique n°1 PCSI 2019 – 2020 Conseils : • Ce devoir comporte deux ex

Devoir de Physique n°1 PCSI 2019 – 2020 Conseils : • Ce devoir comporte deux exercices. • Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré- daction de votre copie : justiﬁez rapidement vos afﬁrmations, donnez la valeur littérale simpliﬁée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vériﬁez l’homogénéité et la cohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné). Les résultats NON ENCADRÉS ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur. • L’usage des calculatrices est autorisé. I. EXPRESSION DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE On rappelle que par déﬁnition, l’intensité i du courant électrique est liée à la charge dq traver- sant un conducteur pendant un intervalle de temps dt par la relation i = dq dt. 1. La force s’exerçant entre deux particules chargées de charges q1 et q2 distantes de r a pour expression : ⃗ F = 1 4πǫ0 q1q2 r2 ⃗ u où ⃗ u est un vecteur unitaire. Q1 En déduire la dimension de ǫ0 en fonction des dimensions de base du système international. 2. (a) La force de Lorentz subie par une charge q en mouvement à une vitesse ⃗ v dans un champ magnétique ⃗ B est ⃗ F = qvB sin ϕ ⃗ u où ϕ est l’angle que font entre eux les vecteurs ⃗ v et ⃗ B, et ⃗ u un vecteur unitaire. En déduire la dimension de B. Q2 (b) Le champ magnétique créé à une distance R par un conducteur rectiligne parcouru par un courant d’intensité I se calcule par la relation B = µ0I 2πR où µ0 est une constante fon- damentale. En déduire la dimension de µ0. Q3 3. Les ondes électromagnétiques (et en particulier la lumière) se propagent dans le vide avec une célérité c vériﬁant cn = ǫ0µ0. Déterminer n en utilisant vos réponses aux questions précédentes. Q4 II. MESURE DE MASSE EN APESANTEUR A. Étude préliminaire : le ressort vertical sur Terre z M O On étudie une masse m, supposée ponctuelle, posée sur un ressort ver- tical comme sur la ﬁgure ci-contre (il n’y a aucun support, la masse repose directement sur le ressort, celui-ci étant contraint à se déplacer verticale- ment avec la masse). La constante de raideur du ressort est notée k et sa longueur à vide l0. L’axe Oz est ascendant et l’origine O est prise sur Terre (vecteur unitaire ⃗ ez), à la base du ressort. L’accélération de la pesanteur ⃗ g est dirigé selon les z descendant. Lycée Poincaré – Nancy Page 1/3 18 septembre 2019, durée 2 h Devoir de Physique n°1 PCSI 2019 – 2020 1. (a) Donner l’expression de la force de rappel du ressort en fonction de z et des données de Q5 l’énoncé. La représenter sur un schéma dans le cas où le ressort est comprimé. (b) Déterminer l’expression de zeq, position de la masse m lorsqu’elle est à l’équilibre. Q6 (c) Vériﬁer explicitement l’homogénéité du résultat de la question précédente. Q7 2. Équation du mouvement : Déterminer l’équation différentielle du mouvement et la mettre sous la forme Q8 ¨ z + ω2 0z = ω2 0zeq en précisant l’expression de ω0. 3. Chute de la masse sur le ressort : on enlève la masse du ressort, puis on la laisse tomber sur le ressort (on suppose que le ressort est contraint à rester vertical, et sa longueur est alors l0). Au moment où la masse entre en contact avec le ressort, elle se déplace à la vitesse ⃗ v0 = −v0⃗ ez. On a appliqué un peu de colle sous la masse : par conséquent, elle demeure collée au ressort et oscille verticalement. (a) Traduire mathématiquement les conditions initiales. Q9 (b) On écrit les solutions de l’équation du mouvement sous la forme : z(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t) + zpart Donner l’expression de z(t) en fonction des données du problème. Q10 (c) Dans le but de simpliﬁer la suite des calculs, on écrit z(t) sous une forme faisant appa- Q11 raître l’amplitude zm des oscillations : z(t) = zeq + zm cos(ω0t + ϕ) Donner l’expression de zm en fonction des données. (d) En déduire la longueur du ressort au point le plus haut et au point le plus bas des Q12 oscillations. (e) Montrer que la période T des oscillations peut s’exprimer grâce à la formule T = 2π qm k . Q13 Justiﬁer votre réponse à l’aide d’une des formes obtenues pour z(t) dans les questions précédentes. La détermination des constantes d’intégration n’est pas nécessaire pour la résolution de cette question. (f) Vériﬁer explicitement l’homogénéité de l’expression proposée par l’énoncé dans la ques- Q14 tion précédente. (g) Représenter graphiquement la solution z(t). On fera apparaitre sur le graphique les Q15 grandeurs l0, zeq, zm et T. On prendra soin de respecter qualitativement la condition initiale sur la vitesse. 4. Étude énergétique du système : (a) Donner l’expression de l’énergie potentielle élastique en fonction de z et des données Q16 du problème. (b) Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du ressort en fonction de z et Q17 des données du problème (on pourra prendre une référence nulle en z = 0). (c) En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, établir une équation du second de- Q18 gré en fonction de la longueur du ressort zhaut au point le plus haut. L’équation étant du second degré, elle admet deux solutions : à quoi correspond la deuxième solution? (d) Question bonus, n’y passez pas trop de temps. Montrer qu’à une constante K près (grandeur ne dépendant pas de z), l’énergie poten- Q19 tielle totale du système (de pesanteur et élastique) peut s’exprimer sous la forme Ep = 1 2k(z −zeq)2 + K Lycée Poincaré – Nancy Page 2/3 18 septembre 2019, durée 2 h Devoir de Physique n°1 PCSI 2019 – 2020 B. Mesures en apesanteur Lors d’un séjour dans une station spatiale, il est important pour les astronautes de suivre l’évo- lution de leur masse corporelle. En seulement quelques semaines, celle-ci peut diminuer de près de 15 % à cause de l’atrophie musculaire provoquée par leur sous-utilisation. Pour mesurer une masse dans la station spatiale en l’absence de gravité, il est possible d’utiliser un système original constitué d’une chaise attachée à l’extrémité d’un ressort (photo ci-contre). L’autre extrémité du ressort est liée à un point ﬁxe de la station spatiale. On se placera dans le référentiel de la station spatiale, que l’on supposera galiléen et avec une gravité nulle (hypothèses simpliﬁcatrices). La constante de raideur du ressort est k = 606 N.m−1. 1. Justiﬁer brièvement que l’expression de la période des oscillations établie dans la partie Q20 précédente reste valable pour ce système. On pourra ainsi utiliser des résultats de la partie précédente pour la suite. 2. En l’absence d’astronaute, la chaise vide oscille avec une période T0 = 1,28 s. Déterminer la Q21 masse m0 de la chaise en fonction des données du problème. Faire l’application numérique. 3. Quand l’astronaute s’assoie sur la chaise et mesure une période T = 2,33 s. En déduire la Q22 masse m de l’astronaute en fonction des données du problème, en détaillant votre raison- nement. Faire l’application numérique. C. Deux ressorts verticaux Dans cette partie, l’étude est à nouveau sur Terre et la masse est soumise à la pesanteur. On étudie une masse m supposée ponctuelle, ﬁxée à deux ressorts verticaux identiques (longueur à vide l0 et raideur k). Les supports sont séparés d’une distance 2a. L’axe Oz est ascendant et l’origine O est prise sur Terre (vecteur unitaire ⃗ ez), à la base du ressort. z O M ⃗ g 2a 1. Donner l’expression de la force de rappel ⃗ fb du ressort du bas en fonction de z et des don- Q23 nées de l’énoncé. Faire de même pour le ressort du haut en déterminant ⃗ fh. 2. Donner les expressions à l’équilibre des longueurs lh et lb des ressorts en fonction de m, g, k Q24 et a. 3. En déduire une expression approchée de lb et lh lorsque mg ≪ka. Q25 4. Déterminer l’équation différentielle du mouvement et montrer que l’on a un oscillateur Q26 harmonique. Préciser la pulsation propre Ω0. Fin Lycée Poincaré – Nancy Page 3/3 18 septembre 2019, durée 2 h Devoir de Physique n°1 PCSI 2019 – 2020 I. EXPRESSION DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE On déduit de ce que nous donne l’énoncé que [q] = I.T. Pour la dimension d’une force, on peut utiliser la seconde loi de Newton : ⃗ F = m⃗ a d’où [F] = M.L.T−2 1. On déduit de la formule donnée par l’énoncé que [ǫ0] = [q]2 [F ]L2 = I2.T2 M.L3.T−2 soit [ǫ0] = M−1.L−3.T4.I2 . Q1 2. (a) [B] = [F ] [qv] = M.L.T−2 I.T.L.T−1 d’où [B] = M.I−1.T−2 . Q2 (b) [µ0] = [B].[R] [I] = M.I−1.T−2.L I = M.L.T−2.I−2 . Q3 3. [ǫ0µ0] = M.L.T−2.I−2 × M−1.L−3.T4.I2 = L−2.T2 = 1 L2.T−2 = 1 [c2]. On a alors n = uploads/s3/ ds-01.pdf