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1 – DS1 Sciences Physiques MP 2014-2015 Devoir surveill´ e de Sciences Physique

1 – DS1 Sciences Physiques MP 2014-2015 Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n ˚ 1 du 17-09-2014 — Dur´ ee : 4 heures — Probl` eme no 1 – Modulation et D´ emodulation CCP PSI 2005 La modulation d’amplitude est une technique intervenant dans la transmission, via une onde ´ electromagn´ etique, d’un signal informatif (t´ el´ ephonie, radio, t´ el´ evision . . . ). Aide fournie : Formule math´ ematique : cos p cosq = 1 2 (cos(p + q) + cos(p −q)). La diode est un composant ´ electronique dont nous donnerons le mod` ele id´ eal : elle se comporte comme un interrupteur ouvert lorsque la tension ` a laquelle on la soumet est n´ egative ud < 0 et comme un interrupteur ferm´ e lorsque le courant qui la traverse est positif id > 0. Ces informations peuvent aussi ˆ etre obtenues par l’´ etude de sa caract´ eristique courant-tension, voir le sch´ ema de la ﬁgure 1. Pour distinguer les deux r´ egimes de fonctionnement de la diode, on dit aussi qu’elle est passante lorsque id > 0 et qu’elle est bloqu´ ee sinon puisqu’alors id = 0. b b id ud ud id inter. ferm´ e inter. ouvert Figure 1 – Diode id´ eale En ´ electricit´ e et en r´ egime sinuso¨ ıdal, la puissance ´ electrique moyenne dissip´ ee dans un dipˆ ole est donn´ ee par la formule P = UeffIeff cos ϕ o` u Ueff est la tension eﬃcace aux bornes du dipˆ ole, Ieff l’intensit´ e eﬃcace qui le traverse et ϕ le d´ ephasage qui existe entre la tension instantan´ ee u(t) et l’intensit´ e instantan´ ee i(t). A. Fabrication d’un signal modul´ e en amplitude G´ en´ eralit´ es sur la modulation d’amplitude Pour transmettre une onde sonore (un signal informatif suppos´ e sinuso¨ ıdal de pulsation ω), on module l’ampli- tude d’une porteuse de pulsation Ωtr` es sup´ erieure ` a ω. 1. ` A quel intervalle de fr´ equences correspond le domaine audible ? Quelle est la c´ el´ erit´ e de l’onde modul´ ee transmise par voie hertzienne ? 2. Donner deux raisons essentielles justiﬁant la n´ ecessit´ e de la modulation (en amplitude ou en fr´ equence par exemple) pour transporter un signal par voie hertzienne par l’interm´ ediaire d’une onde ´ electromagn´ etique. Le signal modul´ e s(t) obtenu est mis sous la forme usuelle s(t) = s0(1 + m cos ωt) cos Ωt (voir la ﬁgure 2), dans laquelle m est un r´ eel positif, appel´ e taux de modulation. L’image ´ electrique de ce signal pourra ˆ etre obtenue sous forme d’une tension (on ´ ecrira alors s(t) = v(t), grandeur exprim´ ee en volt) ou sous forme d’une intensit´ e (on ´ ecrira alors s(t) = i(t), grandeur exprim´ ee en amp` ere). 3. Soient smax et smin les valeurs maximale et minimale de l’amplitude de s(t). En faisant apparaˆ ıtre clairement smax et smin sur l’une ou l’autre des courbes de la ﬁgure 2 (qui sera reproduite sur la copie), exprimer le taux de modulation m en fonction de smax et smin. 4. Calculer les taux de modulation correspondant aux deux graphes propos´ es. 5. Repr´ esenter le signal modul´ e dans le cas m = 1. Fabrication d’un signal modul´ e en amplitude Pour r´ ealiser l’´ emission, nous allons utiliser un courant ´ electrique modul´ e en amplitude, d’intensit´ e i(t) = I0(1 + m cosωt) cos Ωt, o` u Ω≫ω. L’intensit´ e ´ electrique d´ elivr´ ee par la source de courant circule dans un dipˆ ole oscillant, l’´ emetteur, qui r´ ealise l’´ emission. Nous ne nous int´ eresserons pas ` a l’´ emetteur, mais seulement ` a la source de courant, que nous allons tenter de fabriquer. 6. Repr´ esenter, en le justiﬁant, le spectre fr´ equentiel de l’intensit´ e d´ elivr´ ee par la source en notant f = ω/2π et F = Ω/2π. JR Seigne Clemenceau Nantes Sciences Physiques MP 2014-2015 DS1 – 2 s(t) t b −3 b −2 b −1 b 0 b 1 b 2 b 3 s(t) t b −3 b −2 b −1 b 0 b 1 b 2 b 3 Figure 2 – Taux de modulation 7. En d´ eduire que la source de courant peut ˆ etre th´ eoriquement fabriqu´ ee ` a l’aide de trois sources de courant sinuso¨ ıdales id´ eales, associ´ ees de fa¸ con tr` es simple. Pr´ eciser : – les expressions compl` etes (amplitude et pulsation) des intensit´ es i1(t), i2(t) et i3(t) d´ elivr´ ees par chacune des sources; – le montage r´ eel de la source ´ equivalente. B. D´ emodulation d’amplitude Pour r´ ecup´ erer l’information contenue dans un signal modul´ e en amplitude, plusieurs approches sont possibles, dont les deux suivantes. La premi` ere exploite les possibilit´ es d’un circuit passif ` a base de diode, la seconde repose sur l’emploi d’un multiplieur. D´ emodulation par d´ etection d’enveloppe Un r´ ecepteur capte, par voie hertzienne, un signal modul´ e qu’il traduit sous la forme d’une tension ve(t) = V0(1 + m cosωt) cos Ωt. Pour en extraire l’information, on utilise le dispositif de la ﬁgure 3 appel´ e d´ etecteur d’enveloppe ou de crˆ ete. Il est constitu´ e d’une diode id´ eale, d’une r´ esistance et d’un condensateur, ces deux derniers formant la cellule RC. La valeur des composants est adapt´ ee au signal ` a d´ emoduler. b b b b b b ve(t) vs(t) C R Figure 3 – D´ emodulateur ` a diode 8. Soient τ = RC la constante de temps de la cellule RC et T = 2π/Ωla p´ eriode de la porteuse du signal d’entr´ ee. En raisonnant qualitativement sur le fonctionnement de la cellule RC, selon l’´ etat passant ou bloqu´ e de la diode, ´ etablir une in´ egalit´ e liant τ et T permettant d’obtenir en sortie la tension approch´ ee vs(t) ≃V0(1 + m cos ωt). Cette expression sera conserv´ ee pour les questions suivantes. 9. ´ Etablir l’expression de l’intensit´ e traversant la diode, lorsque celle-ci est passante, en fonction de vs(t) et de ses ´ eventuelles d´ eriv´ ees par rapport au temps. D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que l’intensit´ e traversant la diode peut ˆ etre mise sous la forme : iD(t) = V0 R [1 + g cos(ωt + ϕ)] o` u g > 0 sera explicit´ e en fonction de m, R, C, ω et tan ϕ en fonction de R, C et ω. 10. L’intensit´ e du courant traversant la diode quand celle-ci est passante ne pouvant ˆ etre que strictement positive, en d´ eduire que la constante de τ du ﬁltre doit obligatoirement ˆ etre inf´ erieure ` a une certaine valeur que l’on exprimera en fonction de m (suppos´ e inf´ erieur ` a 1) et ω. JR Seigne Clemenceau Nantes 3 – DS1 Sciences Physiques MP 2014-2015 11. Les conditions d’utilisation du montage sont telles que ω = 3, 14 × 104 rad · s−1 et m = 0, 7. Sachant que les deux pulsations (ω et Ω) sont dans un rapport 100, d´ eterminer un encadrement num´ erique de la constante de temps τ. 12. On place tour ` a tour, en entr´ ee de la cellule RC, les tensions ve(t) = s(t) repr´ esent´ ees sur la ﬁgure 2, trac´ ees pour des valeurs quelconques de m. Repr´ esenter, dans chaque cas, les tensions vs obtenues en sortie du d´ etecteur d’enveloppe. 13. L’un des deux signaux n’est pas correctement d´ emodul´ e par ce montage. Identiﬁer le signal dont il s’agit et le repr´ esenter correctement d´ emodul´ e. Pr´ eciser la condition sur m assurant une d´ emodulation correcte. D´ emodulation synchrone L’utilisation d’un multiplieur va permettre de r´ esoudre quelques-unes des limitations rencontr´ ees par le d´ emo- dulateur ` a diode. Le montage repr´ esent´ e sur la ﬁgure 4 est cˆ abl´ e de fa¸ con ` a ce que vm(t) = kve(t)vd(t), o` u k est une constante positive caract´ eristique du multiplieur. L’imp´ edance d’entr´ ee du multiplieur est suﬃsamment ´ elev´ ee pour que l’on puisse consid´ erer les courants d’entr´ ee comme nuls. ve(t) vd(t) vm(t) b Figure 4 – Circuit multiplieur On place, sur la premi` ere entr´ ee, le signal ` a d´ emoduler, r´ eceptionn´ e par voie hertzienne, dont l’´ equation est ve(t) = V0(1 + m cos ωt) cosΩt et on impose, sur la seconde entr´ ee, la tension vd(t) = Vd cos Ωt. En sortie du multiplieur, le signal traverse un ﬁltre qui peut ˆ etre du type passe-bas (1) ou passe-haut (2), selon le traitement souhait´ e. Les fonctions de transfert sont : H1(jω) = H0 1 + (j ω ωc )n et H2(jω) = H0( ω ωc )n 1 + (j ω ωc )n Les diagrammes de Bode de uploads/s3/ ds1.pdf