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Contrôle n°5 - 2014 Pensée du jour : "Une démonstration grandiose de la misérab

Contrôle n°5 - 2014 Pensée du jour : "Une démonstration grandiose de la misérable subjectivité de l'homme qui lui fait tout rapporter à lui-même est offerte par l'astrologie qui met en rapport la trajectoire des grands corps célestes et le misérable moi." Arthur SCHOPENHAUER La plupart des exoplanètes connues aujourd’hui ont été détectées indirectement par l'effet Doppler-Fizeau qu’elles engendrent sur le spectre de leur étoile (perturbation gravitationnelle). L’exoplanète et son étoile tourne autour du barycentre de leur masse. Ce mouvement de l’étoile par rapport à l’observateur sur Terre engendre un effet Doppler sur la lumière de l’étoile : • Quand l’étoile avance vers la Terre, son spectre (et donc ses raies spectrales) est décalé vers les hautes fréquences. • Quand l’étoile s’éloigne de la Terre, son spectre (et donc ses raies spectrales) est décalé vers les basses fréquences. A partir de ce décalage des raies du spectre on peut calculer la vitesse de l'étoile par rapport à la Terre. Ainsi, pour une étoile sans planète on observe une vitesse radiale constante. De plus, si cette vitesse est négative, l'étoile se rapproche de l'observateur. En utilisant cette méthode, on a établi ci-dessous la courbe donnant la vitesse de l'étoile 51Peg par rapport à la Terre sur une cinquantaine de jours (Julian Day). 1. L'étoile 51Peg 1.a. Comment, à l'aide de cette courbe, peut on facilement justifier qu'une exoplanète est présente autour de cette étoile ? 1.b. Déterminer graphiquement la vitesse moyenne V de l'étoile 51Peg par rapport à la Terre. 1.c. En déduire si cette étoile se rapproche ou s'éloigne de la Terre. 1.d. Comment nomme-t-on alors ce décalage en fréquence des raies observées dans le spectre de cette étoile ? 1.e. Le décalage spectral z des raies d'une source lumineuse en mouvement se calcule avec les relations : c V z = ou       − = λ λ λ REF z Déterminer la longueur d'onde λ observée dans le spectre de 51peg de vitesse radiale V = - 33,110 km/s pour la raie D1 du sodium de longueur d'onde λREF = 588,9950 nm. On prendra c = 299 792,458 km/s Document 1 Julian Day (AJD) - 2 450 000 Document 2 avec : λ la longueur d'onde observée pour la source en mouvement λREF la longueur d'onde observée pour une source immobile 2. L'exoplanète 51Peg b 51 Pegasi b (abrégé 51Peg b), informellement nommée Bellérophon1, est une planète de masse m = 9⋅10 26 kg située à environ 50 années-lumière de la Terre en orbite à une distance R de l'étoile 51 Pegasi de masse M dans la constellation de Pégase. Première exoplanète découverte (1995) autour d'une étoile de la séquence principale, elle constitue le prototype de la classe des Jupiter chauds. Caractéristiques de l’orbite de 51Peg b : - Demi-grand axe : A = 0,053 u.a. - Excentricité : e = d / A = 0,01 - Période de révolution : T = 4,2307 j Données : - Pour une trajectoire circulaire, A = B = R - Une unité astronomique (u.a.) = 150 millions de km. - G = 6,67⋅10 -11 S.I. - Troisième loi de Kepler : GM A T 2 3 2 4π = 2.a. Comment se nomme précisément la grandeur G ? 2.b. D'après la première loi de Kepler, où peut-on placer l'étoile 51Peg sur le schéma du document 3 si l'ellipse représente l'orbite de l'exoplanète 51Peg b ? 2.c. Sachant qu'un cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus avec le centre C, montrer à partir des caractéristiques de l'orbite que l'exoplanète 51Peg b possède une trajectoire quasi-circulaire. 2.d. En déduire à l'aide de la deuxième loi de Newton que le mouvement de cette planète est uniforme. 2.e. En utilisant la courbe du document 2, retrouver en détaillant les calculs la période de révolution T de 51Peg b dans l'unité du système international. 2.f. Lors de la découverte de la planète 51Peg b, la masse de son étoile 51Peg était déjà connue : M = 2,1⋅10 30 kg. Déterminer alors, à l'aide des valeurs fixées par l'énoncé, le rayon R de l'orbite de 51Peg b. 2.g. Rechercher l'expression littérale de la vitesse orbitale v de 51Peg b en fonction de G, R et M, puis déterminer sa valeur avec R = 8,0⋅10 6 km 3. Les exoplanètes 51Peg c et 51Peg d 51 Pegasi est une étoile de type naine jaune quasi-identique à notre Soleil bien que plus vieille de plus de deux milliards d'années. En 2013, on ne lui connait encore qu'une seule planète, 51Peg b. Dans la suite de l'exercice, on supposera l'existence de deux nouvelles exoplanètes dans ce système : 51Peg c et 51Peg d. 3.a. En supposant que les trois exoplanètes en orbite autour de 51Peg ont une trajectoire circulaire, montrer que l'on peut écrire : v2 × R = cste. 3.b. Que peut-on alors déduire pour la vitesse orbitale vc de 51Peg c par rapport à celle de 51Peg b (vb) sachant que 51Peg c est située bien plus loin de son étoile que 51Peg b ? Justifier mathématiquement en partant de l'inégalité Rc > Rb. 3.c. A l'aide du tableau ci-dessous, déterminer la période Td de révolution de 51Peg d. Question bonus : 3.d. Déterminer un encadrement de la valeur réelle de cette période Td sachant que : 2 2 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 2 ) (         × +         × +         × × = c c d d c c d d A A U A A U T T U T T U C S A Planète Demi grand axe A Période sidérale T 51 Peg c 25 ± 2 u.a. 122 ± 1 ans 51 Peg d 70 ± 5 u.a. Document 3 B d A F F’ C uploads/s3/ 2014-controle-5.pdf