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Cours 14 - Composition de Mouvement Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Flor

Cours 14 - Composition de Mouvement Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 1 sur 4 Composition de Mouvement Exemple de Système Mécanique MANEGE MAGIC ARMS Bras 1 Bras 2 Nacelle 3 Modèle Système réel O1 O2 O3 O3 P 1 x  x 2 z  x 1 y  x 0 / 3 P  ? 0 x  x 3 z  x 0 y  x 2 x  x 1 x  x 2 y  x 2 x  x 3 x  x 2 3 1 α β φ 0 Pour aborder une étude cinématique, on s’intéresse systématiquement à la nature du mouvement des solides et on constate souvent que ce mouvement peut être complexe. Pour calculer un vecteur vitesse, il peut donc être judicieux de décomposer ce mouvement complexe en plusieurs mouvement simples : c’est la composition de mouvement. 1 - COMPOSITION DES VECTEURS VITESSE 1.1. Définition Soit le solide 2 en mouvement par rapport au repère R1 lui-même en mouvement par rapport au repère R. Pour tout point M  2 on montre que : R / R M R / 2 M R / 2 M 1 1 V V V       R / 2 M V  est le vecteur vitesse absolue (l’observateur est fixe par rapport à R et observe le mouvement de M)  1 R / 2 M V  est le vecteur vitesse relative (l’observateur est fixe par rapport à R1 et observe le mouvement de M)  R / R M 1 V  est le vecteur vitesse d’entrainement (l’observateur est fixe par rapport à R et observe le mouvement du point de R1 qui coïncide à l’instant t avec le point M) 1 R / 2 M V  R / 2 M V  R / R M 1 V  1 R / 2 M V  O1 O2 O3 M 1 x  x 1 y  x 0 x  x 0 y  x 2 x  x 1 x  x 2 y  x 2 3 1 α β 0 Cours 14 - Composition de Mouvement Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 2 sur 4 Ne pas oublier les précautions d’usage pour le calcul du vecteur vitesse R / R M 1 V  car le point M est cinématiquement lié au repère R1 mais n’a aucune réalité physique sur le solide 1 ! 1.2. Démonstration de la formule R / R M R / 2 M R / 2 M 1 1 V V V      On cherche à définir la relation entre R / 2 M V  et 1 R / 2 M V  . On a par définition : R / 2 M V  R R / M OM dt d V   R 1 1 M O OO dt d   R 1 R 1 M O dt d OO dt d   Pour la 1ère dérivée vectorielle, comme O1 est l’origine du repère R1 on a : R 1 OO dt d R / R O 1 1 V   Pour la 2ème dérivée vectorielle, on a en utilisant la formule de la dérivée vectorielle : M O M O dt d M O dt d 1 R / R R 1 R 1 1 1     Et par définition : 1 R 1M O dt d 1 1 R / 2 M R / M V V    D’où : R / 2 M V  R / R O 1 1 V   1 R / 2 M V   M O1 R / R1    Soit en réordonnant la relation : R / 2 M V  1 R / 2 M V   R / R O 1 1 V   M O1 R / R1    Or : R / R M 1 V  R / R O 1 1 V   M O1 R / R1    D’où : R / R M R / 2 M R / 2 M 1 1 V V V      1.3. Généralisation De manière encore plus générale, si un solide S est en mouvement par rapport au repère Rn, lui- même en mouvement par rapport au repère Rn–1, …, lui-même en mouvement par rapport au repère Ri, …, lui-même en mouvement par rapport au repère Ri–1, …, lui-même en mouvement par rapport au repère R, alors, pour tout point appartenant à S : R / R M R / R M R / S M R / S M 1 1 i i n V ... V ... V V           La composition des vecteurs vitesse reprend, au niveau des repères, le principe de la relation de Chasles des vecteurs. Lorsqu’il y a plus de 3 repères en jeu, les termes « vecteur vitesse relative », et « vecteur vitesse d’entrainement ne sont plus significatifs. Exemple du manège Magic-Arms : 0 / 1 P 1 / 2 P 2 / 3 P 0 / 3 P V V V V        3/0 : mouvement complexe 3/2 : mouvement de rotation autour de l’axe (O, 2 y ) 2/1 : mouvement de rotation autour de l’axe (O2, z ) 1/0 : mouvement de rotation autour de l’axe (O1, z ) 2 - COMPOSITION DES VECTEURS VITESSE INSTANTANE DE ROTATION 2.1. Définition Si on considère le solide 2 auquel est associé le repère R2, en mouvement par rapport au repère Cours 14 - Composition de Mouvement Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 3 sur 4 R1 lui-même en mouvement par rapport au repère R, les mouvements relatifs des 3 repères R, R1, R2 induisent l’existence des 3 vecteurs vitesse instantanée de rotation R / R2  , 1 2 R / R  et R / R1  . On montre que : R / R R / R R / R 1 1 2 2      2.2. Démonstration de la formule R / R R / R R / R 1 1 2 2      On considère un vecteur dépendant du temps u  Par définition on a : u u dt d u dt d 1 2 2 1 R / R R R     (1) et u u dt d u dt d 1 1 R / R R R     (2) En soustrayant membre à membre les 2 relations précédentes, (1) – (2), on obtient :  u u dt d u dt d R / R R / R R R 1 1 2 2       Or par définition u u dt d u dt d R / R R R 2 2     On en déduit donc que : R / R R / R R / R 1 1 2 2      2.3. Généralisation De manière encore plus générale, si un solide S est en mouvement par rapport au repère Rn, lui- même en mouvement par rapport au repère Rn–1, …, lui-même en mouvement par rapport au repère Ri, …, lui-même en mouvement par rapport au repère Ri–1, …, lui-même en mouvement par rapport au repère R, alors, pour tout point appartenant à S : R R R R R S R S i i n / / / / 1 1 ... ...           Exemple du manège Magic-Arms : 0 / 1 1 / 2 2 / 3 0 / 3        3/0 : mouvement complexe 3/2 : mouvement de rotation autour de l’axe (O, 2 y ) 2/1 : mouvement de rotation autour de l’axe (O2, z ) 1/0 : mouvement de rotation autour de l’axe (O1, z ) 3 - COMPOSITION DES TORSEURS CINEMATIQUES Définition La composition des torseurs cinématiques n’est qu’une forme condensée des compositions des vecteurs vitesse et des vecteurs vitesse instantanée de rotation. Si un solide S est en mouvement par rapport au repère Rn, lui-même en mouvement par rapport au repère Rn–1, …, lui-même en mouvement par rapport au repère Ri, …, lui-même en mouvement par rapport au repère Ri–1, …, lui-même en mouvement par rapport au repère R, alors, pour tout point appartenant à S : Cours 14 - Composition de Mouvement Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI Florestan MATHURIN Page 4 sur 4                          R / R R / uploads/s3/ cours-14.pdf