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Bacc Lauréat- Série D - SESSION 1999 MATHEMATIQUES - - - - - - - - - - N.B. : L

Bacc Lauréat- Série D - SESSION 1999 MATHEMATIQUES - - - - - - - - - - N.B. : Les Quatre Exercices sont obligatoires. - - - - - - - - - EXERCICE I(20 points) Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé d’unité 2cm, on donne le point A d’affixe –2. Soit Z le nombre complexe défini par : Z = , avec z ¹ -2 et z C. On pose Z = X + iY et z = x + iy avec (x, y) IR 2 et (X,Y) IR2. 1 -Déterminer X et Y en fonction de x et y.(3 points) 2 -Déterminer et construire dans P les deux ensembles (C) et (D) définis par : (C ) = { M(x, y) / Z soit réel }. (D) = { M(x, y) / Z soit imaginaire pur }. (4 points) 3 -Soient B, C et D les points d’affixes respectives : i, 2 + 2i, 1 - i. On note par S la similitude plane directe qui transforme B en C et C en D. a -Donner l’expression complexe de S. (3points) b -Préciser ces éléments géométriques. (6points) c -Construire l’image du cercle d’équation : x2 + y2 + 2x - 3y = 0 par S, dans le repère précédent.(4points) EXERCICE II(20 points) Le tableau ci-dessous donne en milliards de francs malgache (FMG) les importations d’une société, de 1993 à 1998. ANNÉE 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Rang de l’année : xi 1 2 3 4 5 6 Importations : yi 5 6,5 7 6,5 10 12 1- Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (xi, yi ) dans un repère orthogonal. L’unité graphique sera prise égale à 1cm sur l’axe des abscisses x, et 1cm pour 1 milliards sur l’axe des ordonnées y. (4points) 2-Calculer le coefficient de corrélation linéaire. (6points) 3-Par la méthode des moindres carrés, déterminer une équation de la droite de régression de y en x et représenter cette droite dans le même repère défini ci- dessus. (6points) 4-A l’aide de cette droite de régression de y en x, quelle estimation peut-on faire du montant des importations en l’an 2004 ? (4points) On exprimera les résultats sous forme décimaux, deux chiffres après virgule. EXERCICE III(20 points) Soit f la fonction définie sur Df = [ 0 ; 1[ È ] 1 ; + ¥ [ par : On note par (C) la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1cm. 1- a)Montrer que f est continue et dérivable au point 0. (3points) b)Calculer les limites aux bornes de Df. (2points) 2- a)Soit x Î Df , calculer f ’(x) et étudier son signe sur Df.(3 points) b)Dresser le tableau de variation de f.(1 point ) c)Etudier les branches infinies de la courbe (C). Tracer (C) et la droite (T) tangente à (C) au point d’abscisse e2.(3 points) 3- Soit g la fonction définie sur D = ] 1 ; + ¥ [ par : g(x) = , pour tout x Î D. On note par (G ) la courbe représentative de g dans le repère précédent. a)Etudier la position relative de (G ) et (C).(2 points) b) Dresser le tableau de variation de g et tracer (G ) dans le même repère que (C).(4 points) c) Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par les deux courbes (G ), (C) et les droites d’équations respectives x = 2, x = e.(2 points) On donne ln2 0,7 ; e 2,71 ; e2 7,4 . EXERCICE IV(20 points) Soit D1 un dé cubique truqué numéroté de 1 à 6. On note pi la probabilité d’apparition de la face numérotée i lors d’un lancer du dé D1 ( i Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} ). On suppose que p1, p3, p5 forment, dans cet ordre, les trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison ; puis p2, p4, p6 forment, dans cet ordre, les trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison et que p2 = 4p1. Soit D2 un dé cubique non truqué numéroté de 1 à 6. Chaque face de D2 a donc la même probabilité d’apparition lors d’un lancer de ce dé. 1-a)Montrer que les probabilités p1, p2, p3, p4, p5 et p6 vérifient le système : ì p2 = 4p1 ; p4 = p1 í p3 = p1 ; p5 = p6 = p1 î p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1. (4 points) b)Calculer p1, p2, p3, p4, p5 et p6.(6 points) 2- On lance les deux dés D1 et D2 simultanément. On note par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus de D1 et D2 après lancement. a)Donner l’univers image de X, (ensemble des valeurs prise par X).(2 points) b)Calculer la probabilité des événements suivants : [ X = 2 ] , [ X = 3 ], [ X = 4 ] et [ X ³ 5 ].(8 points) On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. uploads/s3/ mathematique-bacc-d-1999 1 .pdf