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Méthodes d’identification numériques 1 Chapitre07 Cours Méthodes d’identificati

Méthodes d’identification numériques 1 Chapitre07 Cours Méthodes d’identification numériques Enseignant : A.Loudjani TABLE DES MATIERES 1- Introduction ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 2 2- Méthodologie d’identification ……………………………………………………………………………………………………. 3 3- Identification par calculateur numérique……………………………………………………………………………….. 3 4- Identification paramétrique récursive (Algorithme d’adaptation paramétrique)…………… 4 5- Types d’estimation paramétrique………………………………………………………………………………………………… 4 5.1- Avantages de l’estimation paramétrique récursive…………………………………………………. 5 6- Algorithmes pour l’estimation paramétrique ………………………………………………………………………. 5 6.1- Algorithme des moindres carrées non récursif MC……………………………………………. 5 6.2- Algorithme des moindres carrées récursif MCR………………………………………………. 7 6.3- Algorithme du gradient………………………………………………………………………………………………….. 7 6.4- Algorithme de Gauss-Newton……………………………………………………………………………………….. 8 Bibliographie 8 Méthodes d’identification numériques 2 1- Introduction L’identification consiste a déterminer les paramètres d’un modèle mathématique, dont la structure est établie selon un critère donne. Les paramètres des modèles sont obtenus par la minimisation de l’erreur de prédiction entre le signal de sortie du système (mesuré) et le signal du modèle (estimé) suivant un critère d’optimalité par exemple : (moindres carrés, erreur quadratique moyenne, maximum de vraisemblance), nous nous intéressons plus particulièrement à la méthode qui est basée sur le blanchissement de l’erreur de prédiction . Formellement l’opération d’identification des paramètres du modèle peut se résumer par la figure ci dessous [1]. Il est important de souligner qu’il n’y a pas un algorithme d’estimation paramétrique unique pour tous les types de modèles de bruit fournit des estimations paramétriques asymptotiquement non biaisées. Pour chaque structure de bruit, il existe des algorithmes spécifiques permettant d’obtenir des bons résultats. Système (procédé) Modèle (θ) Signal d’entrée u(k) - + s(k) y(k) e(k) Critère J(θ) Algorithme d’estimation paramétrique Figure 1 : Identification par erreur de sortie Paramètres du modèle Méthodes d’identification numériques 3 2- Méthodologie de l’identification Comme nous avons vu précédemment que le processus de l’identification est résume essentiellement selon le diagramme suivant : 3- Identification par calculateur numérique On peut la résumé comme suit : 1) Acquisition entrée: Séquence binaire pseudo aléatoire de faible amplitude 2) Estimation de la complexité du modèle (algorithmes) 3) Estimation des paramètres du modèle (estimation récursive) Acquisition de données E/S Prétraitement de données Estimation de la complexité du modèle (Choix du modèle) Estimation paramétrique Figure 2 : Méthodologie de l’identification Non Oui Calcul régulateur Validation du modèle Procédé Modèle échantillonné ajustable u(k) - + s(k) y(k) e(k) Critère J(θ) Algorithme d’estimation paramétrique Figure 1 : Identification par calculateur numérique C.N.A + B.O.Z C.A.N Paramètres du modèle Méthodes d’identification numériques 4 4) Validation du modèle identifié (Tests statistiques sur e(k) et y(k)) 4- Identification (estimation) paramétrique récursive (Algorithme d’adaptation paramétrique) La forme générale de l’algorithme d’adaptation (estimation) peut être donnée par la formule suivante : Remarque : Vecteur des paramètres θ = contient l’ensemble des paramètres à identifier 5- Types d’estimation paramétrique a) Estimation paramétrique non récursive  Traitement des entrées/sorties par paquets obtenus sur un horizon de temps.  Pas d’estimation des paramètres pendant l’acquisition ou la lecture du fichier b) Estimation paramétrique récursive  Traitement d’une paire d’entrées/sorties à chaque pas d’échantillonnage. (pendant l’acquisition (temps réel) ou lors de la lecture d’un fichier de données).  Estimation des paramètres a chaque pas d’échantillonnage Méthodes d’identification numériques 5 5.1- Avantages de l’estimation paramétrique récursive  Obtention d’une estimation du modèle à fur et à mesure que le procédé évolue  Compression importante des données  Nécessite moins de puissance de calcul et de mémoire  Mise en œuvre facile sur microprocesseurs  Identification temps réel si nécessaire  Possibilité de poursuite des paramètres variables dans le temps 6- Algorithmes pour l’estimation paramétrique 6-1 Algorithme des moindres carrés non récursif MC (ordinaire) La méthode des moindres carrés a été introduite par Karl Gauss en 1809. Elle a été à la base de toutes les méthodes d’identification et d’estimation des paramètres, cette méthode est basée sur la minimisation d’une fonction quadratique J définie comme [2] : (1) Où e(k) représente l’erreur de prédiction commise sur l’estimation. La modélisation auto- régressive à moyenne ajustée d’ordre (n, m) noté ARMA (n, m) est définie par l’équation aux différences suivante [3] : (2) Méthodes d’identification numériques 6 Avec a0=1 ; u (k) : Entrée du système ; y (k) : Sortie du système ; e (k) : Bruit blanc. A partir de l’équation (2) (3) L’écriture matricielle de l’équation 3 est : (4) Avec (5) (6) Disposons de N mesures (y(k), u(k)), Alors k=1 :N (Forme matricielle) (7) Avec On définit l’erreur de prédiction comme étant la différence entre la sortie du système et la sortie du modèle : e(k)=s(k)-y(k) (8) Sachant que : (9) La méthode des moindres carrés est basée sur la détermination des meilleurs paramètres, c’est à dire ceux qui minimiseront un certain critère d’optimalité. Il représente la somme des carrés des erreurs de prédictions, et qui est mentionné au dessous [2] : (10) (Forme matricielle) (11) Méthodes d’identification numériques 7 La minimisation du critère J(θ) consiste à trouver un optimum, c’est à dire de calculer la dérivée : (12) θ (13) θ (14) Si Matrice carrée Sinon Algorithme MC 6-2 Algorithme des moindres carrés récursif MCR Sans refaire tous les calculs, l’algorithme des moindres carrées récursif MCR est le suivant : 6-3 Algorithme du gradient e(k+1)=s(k+1)-y(k+1)    Algorithme MCR Méthodes d’identification numériques 8 Critère à minimiser (objectif) (15) 6-4 Algorithme de Gauss-Newton Bibliographie [1] M. Boumendil, M. Kardi, « Eude et implémentation des algorithmes d’identification paramétriques et application au signal de parole », mémoire d’ingénieur d’état, Blida, Octobre2002 [2] M. Najim, « Modélisation et identification en traitement du signal ». Masson, 1988. [3] R. Ben Abdnnour, P. Borne, M. Ksouri et F. M’sahli, « Identification et commande numérique des procédés industriels », édition téchnip, avril 2001. [4] D. Landau, « Identification des système », Hermes, Paris, 1998. Avec Matrice heissienne : Valeurs propre de la matrice J(θθ) (Algorithme du gradient) Avec (Algorithme de Gauss-Newton) uploads/s3/ methodes-didentification-numeriques.pdf