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Bernard P ARZYSZ SUIVI DE: G"'L\MMES NATURELLES par yves Hellegouarch Pour tout

Bernard P ARZYSZ SUIVI DE: G"'L\MMES NATURELLES par yves Hellegouarch Pour tout renseignement concernant l'A.P.M.E.P. (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public) Inscription (cotisation, abonnement) Publications (Bulletin de l' A.P.M.E.P., brochures, en particulier les collections ELEM-MATH et MOTS) Fonctionnement (Régionales, Commissions, ...) s'adresser au : Secrétariat de l' A.P.M.E.P. 13, rue du Jura 75013 PARIS Tél. (1) 331.34.05 Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53 "Nonobstant toute l'expérience que je pouvais m'être acquise dans la musique pour l'avoir pratiquée pendant une assez longue suite de temps, ce n'est cependant que par le secours des mathématiques que mes idées se sont débrouillées, et que la lumière y a succédé à une certaine obscurité dont je ne m'apercevais pas auparavant." Jean-Philippe RAMEAU Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53 AVANT-PROPOS Cette brochure est une synthèse de plusieurs brochures et articles antérieurs (publiés principalement par l'APMEP, l'IREM de Paris-Sud et les Cahiers pédagogiques), remaniés et complétés. Elle comporte néanmoins plusieurs parties inédites, ainsi qu'une étude d'Yves Hellegouarch (*) sur les gammes naturelles, qui complète en quelque sorte la première partie, en se plaçant du point de vue le plus général. On y trouvera également un certain nombre d"'encadrés", destinés (pour la satisfaction des curieux, ou du moins je l'espère) à donner des précisions sur tel point précis, sans nuire à la continuité du développe ment. J'ai essayé de présenter les choses de la façon la plus élémentaire possible, en pensant au lecteur qui n'est pas familiarisé avec la théorie musicale (mais celui qui le voudra pourra bien sûr "sauter" les encadrés correspondants). Bonne lecture ! B.P. (*) Que je remercie ici pour ses précieux avis. Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53 SOMMAIRE Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7 Première partie : les échelles musicales .................... . p. 11 I -Le son ....................................... . p. 12 II - Les intervalles 14 ................................. . p. III - Les notes ..................................... . p. 16 IV - Les échelles pythagoriciennes .................... . p. 16 V - La transposition ............................... . p. 40 VI - L'accord parfait majeur ........................ . p. 41 VII - L'échelle de Zarlino 42 ............................ . p. VIII - L'accord parfait mineur ........................ . p. 44 IX - Le tempérament égal ........................... . p. 44 Deuxième partie: Notre échelle tempérée .................. . p. 57 I - Notation 58 ..................................... . p. II - Une approche possible dans le Premier cycle ....... . p. 60 III - Les tonalités majeures .......................... . p. 63 IV - Les transpositions ............................. . p. 63 V - Tonalités majeures voisines ..................... . p. 64 VI - Les tonalités mineures .......................... . p. 66 VII - Notes modales·, notes tonales .................... . p. 68 VIII - Relativité et voisinage .......................... . p. 69 IX - Les noms des intervalles ........................ . p. 70 X - Conclusion ................................... . p. 72 Troisième partie : Quelques procédés imitatifs du contrepoint . p. 73 I -Diagramme mélodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74 II - Transposition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74 III - Renversement 77 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. IV - Récurrence 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. V -Un groupe de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78 VI - Procédés voisins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79 5 Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53 Quatrième partie: Aperçus sur le XXe siècle . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83 I - Les attaques contre la tonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84 II -Le dodécaphonisme............................. p. 86 III - A la recherche des modes à transpositions limitées . . . p. 91 IV - Plus près de nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100 V - Rêvons un peu... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102 Annexe: Petit meccano sériel numéro 00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 108 Liste des Encadrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 124 Bibliographie ..................................... p. 125 et p. 158 Gammes naturelles, par Yves Hellegouarch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 127 Index des termes musicaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 159 Index des noms de personnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 161 6 Musique et mathematique (Parzysz B.) - APMEP 1984 - n° 53 INTRODUCTION Les mathématiques sont, la plupart du temps, enseignées hors de toute "réalité", comme si elles se suffisaient à elles-mêmes. On a même l'impression qu'elles sont à peu près sans objet ailleurs qu'en cours de mathématiques (sauf- parfois- en physique). Dans le meilleur des cas, on les considère comme destinées à former un esprit "logique" (rôle autrefois dévolu au latin), et dans le pire, comme un instrument de sélec tion scolaire (rôle également dévolu autrefois au latin). C'est pourquoi il serait bon de faire ressortir, chaque fois que cela est possible, les applica tions des mathématiques dans le monde qui nous entoure. En quelque sorte, de les mettre "en situation". Une telle démarche nous amène alors à aborder d'autres domaines que celui des mathématiques "pures", c'est-à-dire à faire de l'interdisci plinarité. Voilà, le mot est lâché. Il est vrai que l'interdisciplinarité est devenue une des "tartes à la crème" de la pédagogie actuelle. Tout le monde en parle... mais peu la pratiquent, en fin de compte. Je voudrais ici donner un exemple d'une possibilité de coordination entre deux disci plines que l'on a peu l'occasion de faire se rencontrer: les mathématiques et la musique. Les élèves qui arrivent dans le Second cycle ont eu, de la sixième à la troisième, une heure hebdomadaire de musique (tout au moins théorique ment). Certains sont élèves d'une école de musique, certains possèdent une guitare... Quant aux autres, rares sont ceux qui ne se sentent concer nés par aucune espèce de musique (ne vivons-nous pas à l"'ère de l'audio visuel" ?). Il y a donc là un terrain que l'on peut exploiter du point de vue qui nous occupe ici. En effet, la musique, en tant qu'art, possède son propre langage, avec ses règles (son vocabulaire, sa syntaxe), et ceci même chez les peuples dits "primitifs" (contrairement à une opinion répandue). Parmi ceux qui se sont frottés de près ou de loin au domaine de la musique, un certain nombre se sont certainement posé des questions du genre : - Pourquoi y a-t-il sept noms de notes ? - Pourquoi y a-t-il douze touches par octave sur le clavier du piano, et douze cases par octave sur le manche de la guitare ? -Pourquoi les dièses se succèdent-ils dans l'ordre FA, DO, SOL, etc., et les bémols dans l'ordre inverse ? - Pourquoi, en solfège, uploads/s3/ musique-et-mathematique-parzysz-b-gammes-naturelles-hellegouarch-y-apmep-1984-n53.pdf