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Exercices - Distribution - Support et opérations : corrigé Exercice 1 - Pense-b

Exercices - Distribution - Support et opérations : corrigé Exercice 1 - Pense-bête - Quatrième année - ⋆ 1. Soit φ ∈D(R). On a : ⟨T ′ n, φ⟩= −⟨Tn, φ′⟩→−⟨T, φ′⟩= ⟨T ′, φ⟩. 2. Prenons pour T δ′ 0 et pour ϕ une fonction de D(R) telle que ϕ(0) = 0 et ϕ′(0) ̸= 0. Alors ⟨T, ϕ⟩= −ϕ(0) ̸= 0. Plus généralement, on a ⟨T, ψ⟩= 0 dès que ψ est nulle au voisinage du support de T, c’est-à-dire que les supports de T et ψ sont disjoints. On a ⟨T, ψ1⟩= ⟨T, ψ2⟩dès que ψ1 et ψ2 sont égales au voisinage du support de T. Exercice 2 - Equation ! - Quatrième année - ⋆⋆ 1. Remarquons que ceci correspond ici à la multiplication d’une distribution par une fonction C∞. On a donc, pour φ ∈D(R), ⟨xvp(1/x), φ⟩= ⟨vp(1/x), xφ⟩= lim ε→0 Z |x|≥ε xφ(x) x dx, ce qui donne bien le résultat. 2. (a) L’idée est qu’on connait la valeur de u sur les fonctions qui s’écrivent xϕ, avec ϕ ∈D(R). On s’y ramène en décomposant φ(x) en φ(x) = φ(0) + xϕ(x) où ϕ est de classe C∞. Multipliant par la fonction η donnée par l’énoncé, on obtient : φ = φ(0)η + xϕη. Si on applique u, on trouve : ⟨u, φ⟩= φ(0)⟨u, η⟩+ ⟨xu, ϕη⟩. On obtient ﬁnalement ⟨u, η⟩= ⟨u, φ⟩ φ(0) , quantité qui est donc indépendante de η. (b) Soit η une fonction de D(R) valant 1 à la fois sur le support de φ et de ψ. Alors on a : Cφ = ⟨u, η⟩= Cψ, ce qui prouve le résultat. (c) Notons C la valeur commune de tous les Cφ, pour φ(0) ̸= 0. Le calcul eﬀectué ci- dessus prouve que ⟨u, φ⟩= Cφ(0) = C⟨δ0, φ⟩. Le résultat reste vériﬁé si φ(0) = 0, car les deux membres sont nuls. Une distribution vériﬁant xu = 0 s’écrit donc Cδ0. La réciproque est clairement vraie ! 3. Ecrivons 1 = xvp(1/x), ce qui fait que l’équation se réécrit x(u −vp(1/x)) = 0, ce qui entraîne alors u = vp(1/x) + Cδ0. http://www.bibmath.net 1 Exercices - Distribution - Support et opérations : corrigé 4. On note On =] −3π/4 + nπ, 3π/4 + nπ[, de telle sorte que (On)n∈Z est un recouvrement localement ﬁni de R. Soit (χn) une partition de l’unité associée, et décomposons φ en φ = P n∈Z φ(x)χn = P n∈Z φn. D’après la formule de Taylor avec reste intégral, chaque φn s’écrit φn(x) = φ(nπ) + (x −nπ)ψn(x), où ψn est de classe C∞. Remarquons encore que x 7→(x −nπ)/ sin(x) est de classe C∞sur On, et où θn appartient à D(R). On peut alors écrire φn(x) = φn(x)ηn(x) = φ(nπ)ηn(x) + sin(x)θn(x), où ηn est une fonction plateau valant 1 sur On et à support dans ] −π + nπ, π + nπ[. On obtient alors ⟨T, φ⟩= X n∈Z ⟨T, ηn⟩φ(nπ), ce qui prouve le résultat demandé avec cn = ⟨T, ηn⟩. Exercice 3 - Dérivées de Dirac - Quatrième année - ⋆ On a ⟨xα∂βδp, φ⟩= ⟨∂βδp, xαφ⟩= (−1)β⟨δp, ∂β(xαφ)⟩, ∂β(xαφ) = min(α,β) X k=0 Ck βα . . . (α −k + 1)xα−k∂β−kφ. Donc, ⟨xα∂βδp, φ⟩= (−1)β min(α,β) X k=0 Ck βα . . . (α −k + 1)pα−k∂β−kφ(p). En particulier, le support est {a} si p ̸= 0, il vaut ∅si p = 0 et α > β. Exercice 4 - Primitive - Quatrième année - ⋆ 1. Soit T ∈D′(I) et S une éventuelle primitive de S. Prenons φ ∈D(I). On doit alors avoir ⟨T, φ⟩= ⟨S′, φ⟩= −⟨S, φ′⟩. S est donc déterminé sur les dérivées d’éléments de D(I). La situation serait parfaite si toute fonction de D(I) était la dérivée d’une fonction de D(I), mais malheureusement ce n’est pas le cas. Cela n’est vrai que pour les fonctions d’intégrale nulle sur I. Qu’à cela ne tienne ! Rédigeons donc proprement. On a le résultat suivant : Soit u ∈D(I). Il existe v ∈D(I) tel que v′ = u si et seulement si R R u = 0. Dans ce cas, v est unique (et est donnée par la formule v(x) = R x −∞u(t)dt). Le but, étant donnée une fonction ψ ∈D(I), est de se ramener à une fonction qui est la dérivée d’une fonction test. Pour cela, on ﬁxe θ ∈D(I) tel que R R θ = 1. On a alors le résultat suivant : Soit ψ ∈D(I). Il existe un unique φ ∈D(I) tel que ψ = ( Z R ψ)θ + φ′. http://www.bibmath.net 2 Exercices - Distribution - Support et opérations : corrigé En eﬀet, il suﬃt d’appliquer le résultat précédent à la fonction u = ψ−( R R ψ)θ. Supposons maintenant qu’il existe S ∈D′(I) tel que S′ = T. Soit ψ ∈D(I), et φ ∈D(I) la fonction qui lui est uniquement associée par le procédé précédent. On a : ⟨S, ψ⟩ = ⟨S, ( Z ψ)θ⟩+ ⟨S, φ′⟩ = ⟨S, θ⟩ Z ψ −⟨T, φ⟩. On a donc ⟨S, ψ⟩= C R R ψ −⟨T, φ⟩. Passons à la synthèse. On pose S0 la forme linéaire déﬁnie sur D(I) par ⟨S0, ψ⟩= −⟨T, φ⟩, où φ est associée à ψ. Il faut vériﬁer que S0 est continue, ce qu’on laisse au lecteur ! Il faut aussi vériﬁer que S′ 0 = T. Mais pour u ∈D(I), on a ⟨S′ 0, u⟩= −⟨S0, u′⟩. Soit v l’unique fonction de D(I) telle que u′ = ( Z R u′)θ + v′. u étant à support compact, R R u′ = 0, et donc u′ = v′. Par unicité de v, on en déduit que u = v. On a donc ⟨S′ 0, u⟩= −⟨S0, u′⟩= ⟨T, v⟩= ⟨T, u⟩ ce qui prouve que S′ 0 = T. En outre, la partie "analyse" de la preuve garantit que toute primitive de T s’écrit S = S0 + C. 2. On applique simplement le résultat de la question précédente, en remarquant que S0 = 0 : les seules distributions dont la dérivée est nulle sur un intervalle sont les distributions associées aux fonctions constantes. Exercice 5 - Formule des sauts ! - Quatrième année - ⋆ Par déﬁnition, on a ⟨(Tf)′, φ⟩= −⟨Tf, φ′⟩= − Z b a f(x)φ′(x)dx. On découpe l’intégrale, et on eﬀectue dans chaque intervalle ]ai, ai+1[ une intégration par parties. On obtient d’abord des intégrales, qui à nouveau regroupées donne le terme en ⟨Tf′, φ⟩. Les termes constants correspondent exactement aux masses de Dirac ! Exercice 6 - - Quatrième année - ⋆ 1. Soit φ ∈D(Rn) à support dans Z(f)c. Alors φ/f est aussi dans D(R), et on a ⟨T, φ⟩= ⟨fT, φ/f⟩= 0. http://www.bibmath.net 3 Exercices - Distribution - Support et opérations : corrigé 2. Soit T de support inclus dans Z(f), d’ordre 0. En particulier, pour K le support de f, il existe C > 0 tel que, quel que soit φ ∈D(R) à support dans K, on a ⟨T, φ⟩≤C∥φ∥∞. Prenons désormais φ ∈D(R) et remarquons que fφ est dans DK(R). On a donc ⟨fT, φ⟩= ⟨T, fφ⟩≤C∥fφ∥∞. Mais puisque fφ est nulle sur supp(T), on a ⟨ft, φ⟩= 0. 3. Prenons f(x) = x. On a bien supp(T) ⊂Zf. Mais, ⟨xδ′, φ⟩= ⟨δ′, xφ⟩= φ(0), ce qui prouve bien que xδ′ n’est pas la distribution nulle. 4. On a ⟨fδ′, φ⟩= f′(0)φ(0) + f(0)φ′(0), et ceci est identiquement nulle si, et seulement si, f(0) = f′(0) = 0. C’est à dire si, et seulement si, f(x) = x2g(x) où g est une autre fonction C∞. Exercice 7 - Support à un point - 4ième année - ⋆⋆ 1. T est à support compact, donc d’ordre ﬁni. 2. (a) La formule de Leibniz donne (ρrφ)(l) = l X k=0 Ck l ρ(l−k) r (x)φ(k)(x). Maintenant, la condition sur f fait que φ(k)(x) = o(xm−k) (ceci peut se démontrer par exemple avec l’unicité des développements limités et la formule de Taylor-Young). D’autre part, ρ(l−k) r (x) = 1 rl−k ρ(l−k)(x/r). On a donc, dès que r est assez petit et |x| ≤r, |f(k)(x)ρ(l−k) r (x)| ≤εrm−k rl−k ∥ρ(l−k)∥∞≤ε∥ρ(l−k)∥∞. Ceci garantit le résultat de l’énoncé. (b) Puisque T est de support {0} et que ρr vaut 1 au voisinage de 0, on a quel que soit r > 0 ⟨T, φ⟩= ⟨T, ρrφ⟩. Maintenant, T est d’ordre m et ρrφ est à support dans [−r, r] ⊂[−1, 1] (compact ﬁxe !). Le résultat que l’on vient de démontrer assure que limr→0 |⟨T, ρrφ⟩| = 0. 3. Il suﬃt d’appliquer la formule de Taylor avec reste intégral ! http://www.bibmath.net 4 Exercices - Distribution - Support et opérations : corrigé 4. Prenons φ dans D(R) et appliquons la décomposition obtenue à la question précédente. Il faut prendre garde à ce que les fonctions que l’on introduit ne sont plus à support compact. Toutefois, si ρ est la fonction plateau évoquée précédemment, ρφ est à support compact, φ et ρφ sont égales au voisinage de 0, et donc ⟨T, φ⟩= ⟨T, uploads/s3/ exercice-support-distribution 1 .pdf