ACT 3030 MATHÉMATIQUES ACTUARIELLES 1 Notes de cours, hiver 2012 Professeur : F

ACT 3030 MATHÉMATIQUES ACTUARIELLES 1 Notes de cours, hiver 2012 Professeur : Frédéric Michaud ————————————— Chapitre 1: Modèles de survie 1. Introduction L’évaluation de la prime d’un contrat d’assurance ou de rente repose en bonne partie sur la connaissance de la loi de probabilité de l’âge de décès d’une personne. Ce chapitre est consacré à de multiples facettes de la modélisation stochastique de la durée de vie future. Deux approches di¤érentes retiendront notre attention: la modélisation paramétrique, dans laquelle on suppose une loi de probabilité qui s’exprime par une forme explicite, ou la table de mortalité, pour laquelle on spéci…e une probabilité de décès pour chaque âge entier. 2. Durée de vie future : notation, définitions Soit T0 une variable aléatoire qui représente la durée de vie d’une personne prise au hasard. Nous supposerons que T0 est une variable aléatoire continue. Selon la notation classique de la théorie des probabilité, F0 (x) = Pr (T0  x) et S0 (x) = Pr (T0 > x) = 1 F0 (x) sont respectivement les fonctions de répartition et de survie de T0: En Notation Actuarielle Internationale (NAI), xq0 = F0 (x) ; xp0 = S0 (x) = 1 xq0: Dans les applications courantes, on doit le plus souvent mesurer des fonctions actuarielles pour des personnes ayant déjà atteint un certain âge, noté x: Nous écrirons (x) pour faire référence à une personne d’âge x; et sa durée de vie future sera notée Tx: En d’autres termes, Tx" = " (T0 xjT0 > x) ; où "jT0 > x" doit s’interpréter comme étant la condition que T0 > x. Donc, Tx est dé…nie si T0 > x; et elle ne l’est pas pour une personne étant décédée à l’âge x ou auparavant. En NAI; on note respectivement tqx et tpx les fonctions de répartition et de survie de Tx; c’est-à-dire que tqx = Fx(t) = Pr (Tx  t) ; tpx = Sx (t) = Pr (Tx > t) = 1 tqx: On peut déjà établir quelques relations de base. Premièrement, (2.1) tpx = t+xp0 xp0 : 1 2 Celle-ci se véri…e en constatant que tpx = Pr (Tx > t) = Pr (T0 x > tjT0 > x) = S0 (x + t) S0 (x) = t+xp0 xp0 : Une forme équivalente à (2.1) est t+xp0 = xp0  tpx: Une démonstration semblable permet de montrer que (2.2) t+spx = spx  tpx+s: Aussi, on peut facilement véri…er que Pr (t < Tx  t + u) = t+uqx tqx = tpx t+upx: En NAI; on note cette dernière probabilité tjuqx : tjuqx = Pr (t < Tx  t + u) : Dans la notation actuarielle, "tj" prend habituellement le sens de "di¤éré t années". Quand t = 1 dans les expressions tqx et tpx; on laisse tomber le t; c’est-à-dire que qx = 1qx; px = 1px; tj1qx = tjqx: On remarque aussi que tjqx = tpx t+1px = tpx (1 px+t) ; la dernière égalité découlant de (2.2). Puisque 1 px+t = qx+t; on obtient (2.3) tjqx = tpxqx+t: Cette relation prendra un sens particulier pour des valeurs entières de t: 2.1. Force de mortalité. Les fonctions de densité de X et Tx sont intimement liées au concept de taux de panne ("hazard rate", "failure rate"), appelé aussi force de mortalité lorsque la durée de vie en question est celle d’un être vivant. La force de mortalité à l’âge x est notée x. Pour expliquer ce qu’est une force de mortalité, considérons les probabilités suivantes: qx = Pr (x < T0  x + 1jT0 > x) ; 1=2qx = Pr (x < T0  x + 1=2jT0 > x) ; 1=3qx = Pr (x < T0  x + 1=3jT0 > x) ; ::: = ::: 1=nqx = Pr (x < T0  x + 1=njT0 > x) : Ces probabilités décroissent à mesure que l’on avance dans la liste et quand n ! 1; 1=nqx ! 0 puisque T0 est continue. Pour rendre ces probabilités comparables entre 3 elles, on peut les annualiser. En d’autres termes, pour le ne membre de la liste, on considère plutôt 1=nqx 1=n : La force de mortalité est sa limite quand n tend vers l’in…ni. Formellement, x = lim h!0 hqx h : La force de mortalité x est donc la probabilité de décéder à l’âge x dans l’instant in…nitésimal à venir pour une personne ayant atteint l’âge x, et ce en termes annu- alisés. Or, lim h!0 hqx h = lim h!0 Pr (x < T0  x + hjT0 > x) h = lim h!0 Pr (x < T0  x + h) Pr (T0 > x) h = 1 S0 (x) lim h!0 F0 (x + h) F0 (x) h : On sait que lim h!0 F0 (x + h) F0 (x) h = d dxF0 (x) : Puisque T0 est une variable aléatoire continue, la dérivée de F0 est f0; la fonction de densité de X: La force de mortalité et la fonction de densité sont donc intimement liées par la relation x = f0 (x) S0 (x): Nous allons montrer que S0 (x) = eR x 0 ydy: Pour le véri…er, on remarque d’abord que x = S0 (x) S0 (x) = (ln S0 (x))0 : Si on remplace x par y dans cette expression et qu’on intègre de 0 à x; on obtient Z x 0 ydy = ln S0 (x) + ln S0 (0) : Puisque S0 (0) = 1 et ln (1) = 0; il ne reste qu’à multiplier les deux membres de l’équation par 1 et prendre l’exponentielle, eR x 0 ydy = e( ln S0(x)) = eln S0(x) = S0 (x) : En NAI; on écrit plutôt xp0 = eR x 0 ydy: La fonction de survie de Tx s’exprime aussi en termes de x selon la relation suivante (2.4) tpx = eR t 0 x+sds: 4 Pour le véri…er, on remarque que tpx = t+xp0 xp0 = eR x+t 0 ydy eR x 0 ydy = e( R x+t 0 ydyR x 0 ydy) = eR x+t x ydy: Il su¢t ensuite de faire le changement de variable s = y x pour arriver à (2.4). L’expression suivante est utilisée couramment pour exprimer la fonction de den- sité de Tx: (2.5) fTx (t) = tpxx+t; t > 0: Cette expression découle de la relation, pour x > 0 et t > 0; x+t = f0 (x + t) S0 (x + t) = f0 (x + t) =S0 (x) S0 (x + t) =S0 (x) = fTx (t) tpx : On arrive au résultat en isolant fTx (t) : Il est important de noter que puisque lim x!1 S0 (x) = 0; c’est-à-dire qu’il est certain que toute personne décède éventuellement, alors lim x!1 eR x 0 ydy = 0; ce qui est équivalent à Z 1 0 xdx = 1: Tout fonction x décrivant la force de mortalité doit respecter cette dernière con- dition. 2.2. Durée de vie discrète. Même si Tx est continue, la seule chose qui importe dans certaines applications est la valeur entière de Tx; ou, en d’autres termes, sa valeur arrondie à l’entier le plus bas. On la note Kx; et cette variable aléatoire représente le nombre d’années complètes de vie future d’une personne d’âge (x) : On l’appelle la durée de vie abrégée. Mathématiquement, Pr (Kx = k) = Pr (k  Tx < k + 1) = Pr (k < Tx  k + 1) ; k = 0; 1; 2; ::: Une forme semblable à (2.5) pour Pr (Kx = k) est Pr (Kx = k) = kpxqx+k; notée aussi Pr (Kx = k) = kjqx: 5 On remarque que celle-ci n’est que la version de (2.3) dans le cas où t est un nombre entier. À noter aussi que FKx (k) = Pr (Kx  k) = Pr (Tx < k + 1) = k+1qx: 3. Caractéristiques de la durée de vie future On peut résumer la distribution de la durée de vie future Tx (et Kx) à partir de certaines de ses caractéristiques principales, comme son espérance mathématique, sa variance et sa médiane. L’espérance mathématique de Tx est appelé l’espérance de vie complète, et en NAI elle est notée  ex :  ex = E [Tx] : À noter que cette information ne fournit pas l’espérance de vie en termes d’âge, mais plutôt en nombre d’années moyen de vie future pour une personne d’âge x: On peut calculer  ex de façon traditionnelle, soit  ex = Z 1 0 ttpxx+tdt: Il est souvent plus facile de calculer  ex comme suit: (3.1)  ex = Z 1 0 tpxdt: Pour démontrer cette relation, il faut d’abord observer que t = Z t 0 ds: Par conséquent,  ex = Z 1 0 ttpxx+tdt = Z 1 0 Z t 0 ds  tpxx+tdt: uploads/s3/ notes-de-cours-ch1.pdf

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