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Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) Journées APMEP Metz Louis-

Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) Journées APMEP Metz Louis-Marie BONNEVAL Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat d'assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle : Bas, Intermédiaire, Haut. • La première année, l'assuré paye le tarif intermédiaire. • S'il n'a pas été responsable d'un accident pendant une année, il passe au tarif inférieur l'année suivante (s’il est déjà au tarif bas, il y reste). • S'il a été responsable d'un accident au cours d'une année, il passe au tarif supérieur l'année suivante (s’il est déjà au tarif haut, il y reste). Quelle sera à long terme la répartition des assurés entre les trois catégories de tarif ? La compagnie d’assurance estime à 10 % la probabilité qu'un assuré pris au hasard soit responsable d'un accident au cours d'une année. Graphe probabiliste 0,1 0,9 0,1 0,9 I H B 0,1 0,9 Notons bn (respectivement in, hn), la probabilité qu’au bout de n années un assuré pris au hasard soit au tarif bas (respectivement intermédiaire, haut). →35 B B H 0,9 0,1 I I I B H 0,1 0,1 bn in hn 0,9 année n 0,9 H Début année n+1 Donc Arbre : 1 1 1 0,9 0,9 0,1 0,9 0,1 0,1 n n n n n n n n n b b i i b h h i h                 Exploration au tableur ou à la calculatrice n bn in hn 0 0 1 0 1 0,9 0 0,1 2 0,810 0,180 0,010 3 0,891 0,090 0,019 4 0,883 0,106 0,011 5 0,890 0,098 0,012 6 0,889 0,100 0,011 7 0,890 0,099 0,011 8 0,890 0,099 0,011 9 0,890 0,099 0,011 10 0,890 0,099 0,011 Avec les matrices : 1 1 1 0,9 0,9 0 0,1 0 0,9 0 0,1 0,1 n n n n n n b b i i h h                                       soit Pn+1 = T Pn. Si la suite (Pn) converge vers P, alors P = TP Cherchons P = tel que TP = P : b i h      0,9 0,9 0,1 0,9 0,1 0,1 b i b b h i i h h            81 9 1 0,890, 0,099, 0,011 91 91 91 b i h       On en déduit : De plus b + i + h = 1. On pourrait chercher des formules explicites pour bn , in, hn . De la relation de récurrence Pn+1 = T Pn on déduit une formule explicite : Pn = Tn P0. Mais pour l’exploiter il faudrait expliciter Tn. C’est possible (valeurs propres …) mais ce n’est pas simple, et ça dépasse largement le programme. Remarque Problème 2 Une ronde sur un triangle Nous sommes au XIVe siècle, dans le château de Poitiers. Il est triangulaire, flanqué d'une tour à chaque angle : Est, Nord, Sud. Partant de la tour Est, la sentinelle fait sa ronde sur le rempart. A chaque angle, pour tromper l'ennemi (et l'ennui), il jette une pièce : •pile, il continue dans le même sens ; •Face, il repart en sens inverse. Pourra-t-il assurer une surveillance identique dans toutes les directions ? Notons en (respectivement νn, sn), la probabilité qu’au bout de n étapes la sentinelle soit à la tour Est (respectivement Nord, Sud). Ainsi e0 = 1, ν0 = 0, s0 = 0. Graphe probabiliste : 0,5 0,5 0,5 0,5 N E S 0,5 0,5 →35 (en supposant la pièce équilibrée) E N S 1/2 1/2 N S E E S 1/2 1/2 en νn sn 1/2 étape n 1/2 N Début étape n+1 Donc Arbre : 1 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 n n n n n n n n n e s e s s e                    Exploration au tableur ou à la calculatrice n en νn sn 0 1 0 0 1 0 0,5 0,5 2 0,5 0,25 0,25 3 0,25 0,375 0,375 4 0,375 0,313 0,313 5 0,313 0,344 0,344 6 0,344 0,328 0,328 7 0,328 0,336 0,336 8 0,336 0,332 0,332 9 0,332 0,334 0,334 10 0,334 0,333 0,333 11 0,333 0,333 0,333 12 0,333 0,333 0,333 Avec les matrices : 1 1 1 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0 n n n n n n e e s s                                         Si la suite (Pn) converge vers P, alors P = TP soit Pn+1 = T Pn. Cherchons P = tel que TP = P : e s            0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 s e e s e s               1 3 e s     On en déduit : De plus e + ν + s = 1. Ici on peut assez facilement trouver des formules explicites : 1 0,5 0,5 0,5( ) 0,5(1 ) 0,5 0,5. n n n n n n n e s s e e           On en déduit :   1 2 1 3 3 2 n n e    Puis :   1 1 1 . 3 3 2 n n n s      Remarque Cela démontre la convergence. Problème 3 Les autocollants des tablettes de chocolat Chaque semaine, Anna achète une tablette de chocolat Cébon. Chaque tablette contient un autocollant représentant soit une étoile, soit un cœur, soit un trèfle à quatre feuilles. Anna les collectionne pour décorer son journal intime. En supposant les trois motifs équirépartis entre les tablettes, Combien de tablettes suffit-il d’acheter pour être sûr à plus de 95 % d’avoir les trois types de dessin ? Graphe probabiliste 1 3 2 1/3 2/3 1 1/3 2/3 Notons respectivement un, dn, tn les probabilités qu'au bout de n achats Anna ait respectivement un seul type de dessin, deux types de dessin exactement, les trois types de dessin. Ainsi u1 = 1, d1 = 0, t1 = 0. →35 1 1 3 1/3 1/3 2 2 3 2 3 2/3 un dn tn 2/3 achat n 1 Début achat n+1 1 1 1 1 3 2 2 3 3 1 3 n n n n n n n n u u d u d t d t                  Donc Arbre : Exploration au tableur ou à la calculatrice n un dn tn 1 1 0 0 2 0,333 0,667 0 3 0,111 0,667 0,222 4 0,037 0,519 0,444 5 0,012 0,370 0,617 6 0,004 0,255 0,741 7 0,001 0,173 0,826 8 0,000 0,116 0,883 9 0,000 0,078 0,922 10 0,000 0,052 0,948 11 0,000 0,035 0,965 12 0,000 0,023 0,977 Avec les matrices 1 1 1 1/3 0 0 2/3 2/3 0 0 1/3 1 n n n n n n u u d d t t                                       Si la suite (Pn) converge vers P, alors P = TP soit Pn+1 = T Pn. Cherchons P = tel que TP = P : u d t           1 3 2 2 3 3 1 3 u u u d d d t t              Ce n’est pas vraiment une surprise … On en déduit : u = 0, d = 0, t = 1. De plus u + d + t = 1. D’après la relation , la suite est croissante, ce qui est conforme à l’intuition. Or Donc, à partir de 11 achats, on est sûr à plus de 95 % d’avoir les trois types de dessin. 1 1 3 n n n t t d    n t 10 11 0,948 0,965 et t t   On pourrait (mais ce n’est pas immédiat) trouver des formules explicites :      uploads/s3/ p1-32-chaines-markov-lycee.pdf