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Baccalauréat 2014 Session Complémentaire Epreuve de Mathématiques Séries C & TM

Baccalauréat 2014 Session Complémentaire Epreuve de Mathématiques Séries C & TMGM 1/3 (0,5 pt) (1 pt) (0, 75 pt) (0, 5 pt) (0,25 pt) (0,7 5 pt) (0, 75 pt) (0,75 pt) (1 pt) (0,75 pt) (0,75 pt) (0,25 pt) (0,25 pt) (0,25 pt) (0,5 pt) (0,75 pt) R Ré ép pu ub bl li iq qu ue e I Is sl la am mi iq qu ue e d de e M Ma au ur ri it ta an ni ie e M Mi in ni is st tè èr re e d de e l l’ ’E Ed du uc ca at ti io on n N Na at ti io on na al le e D Di ir re ec ct ti io on n d de es s E Ex xa am me en ns s e et t d de e l l’ ’E Ev va al lu ua at ti io on n S Se er rv vi ic ce e d de es s E Ex xa am me en ns s B Ba ac cc ca al la au ur ré éa at t 2 20 01 14 4 S Se es ss si io on n C Co om mp pl lé ém me en nt ta ai ir re e رمضان رمضان5341 5341 H Ho on nn ne eu ur r – – F Fr ra at te er rn ni it té é – – J Ju us st ti ic ce e E Ex xe er rc ci ic ce e 1 1 ( (3 3 p po oi in nt ts s) ) On considère l'équation (E) : 11x 9y 19   , où x et y sont des entiers relatifs. 1.a) Vérifier que ( 4,7)  est une solution particulière de (E). b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E). 2) U Un ni iq qu ue em me en nt t , , p po ou ur r l la a s sé ér ri ie e C C Une variable aléatoire réelle X ne prend que trois valeurs : -4, 7 et 8, avec les probabilités respectives: 1 x 4 p 9   , 2 2x y 8 p 9    , 3 8x 10y 2 p 9    . a) Démontrer qu’il existe un unique couple d’entiers (x, y) tel que ces coordonnées soient acceptables. Préciser le. b) Montrer que l’espérance mathématique de X est E(X) 6  . c) Calculer la variance de X. 2.bis) U Un ni iq qu ue em me en nt t , , p po ou ur r l la a s sé ér ri ie e T TM MG GM M On considère l'équation (E’) : (11 9i)z (11 9i)z 38     , d’inconnue complexe. z désigne le conjugué de z. a) Soit M(x,y) un point d’affixe z où z est une solution de (E’). Montrer que l'équation (E’) admet une infinité de solutions et déterminer le lieux géométriques des points M(x,y). b) Quels sont les points M(x,y) de  dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? E Ex xe er rc ci ic ce e 2 2 ( (4 4 p po oi in nt ts s) ) 1) Dans l’ensemble des nombres complexes , on pose: 3 2 P(z) z (2 2i)z ( 2 8i)z 8 4i      . a) Calculer P(2i). b) Résoudre l’équation P(z) 0  . 2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O;u,v) , on considère la transformation f d’expression : 1 2 z' iz 2i 3 3    . a) Montrer que f est une similitude directe. Préciser le centre A , le rapport et un angle de f. b) Calculer l’affixe C z du point C image de B( 3, 1)   par f. Placer les points A , B et C sur la figure et montrer que le triangle ABCest rectangle. c) Calculer l’affixe G z du point G barycentre du système   S (A, 4);(B,1);(C,6)   . Vérifier que les points A, B, C et G sont cocycliques. 3) Déterminer puis construire les ensembles 1 et 2  des points M du plan définis par : a) 2 2 2 1 M 4MA MB 6MC 30     b) 2 2 2 M MB MC 16    . E Ex xe er rc ci ic ce e 3 3 ( (4 4 p po oi in nt ts s) ) 1) Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0; [  par : 2 g(x) x lnx   . a) Dresser le tableau de variation de g. b) Montrer que l’équation g(x) 0  admet dans ]0; [  une unique solution . Vérifier que 1 1 e . En déduire le signe de g(x). S Sé ér ri ie es s : : C C & & T TM MG GM M E Ep pr re eu uv ve e: : M Ma at th hé ém ma at ti iq qu ue es s D Du ur ré ée e: : 4 4 h he eu ur re es s C Co oe ef ff fi ic ci ie en nt ts s: : 9 9 & & 6 6 Baccalauréat 2014 Session Complémentaire Epreuve de Mathématiques Séries C & TMGM 2/3 (0,25 pt) (0,25 pt) (0,75 pt) (0,25 pt) (0, 5 pt) (0, 5 pt) (0, 25 pt) (0,75 pt) (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt) (0,5 pt) (0,25 pt) (0,5 pt) (0,25 pt) (0,25 pt) (0,25 pt) (0,25 pt) (0,5 pt) 2) Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0; [  par : 1 f(x) x 1 (1 lnx) x   . a) Montrer que x 0 lim f(x)   . Interpréter graphiquement. b) Calculer x lim(f(x) (1 x))    . Interpréter graphiquement. c) Vérifier que 2 g(x) f '(x) x  et dresser le tableau de variation de f. d) Construire la courbe représentative de f. 3) Soit m f la fonction définie sur l’intervalle ]0; [  par : 2 m m f (x) x 1 (1 lnx lnm) x    , où m est un paramètre réel strictement positif. a)Montrer que les courbes m (C ) représentatives des fonctions m f dans un repère cartésien, admettent les mêmes asymptotes, dont on précisera le point d’intersection, noté G. b) Montrer que m (C ) est l’image de 1 (C ) par une homothétie de centre G dont on précisera le rapport. c) Déduire le tableau de variation de m f à partir de celui de f. E Ex xe er rc ci ic ce e 4 4 ( (5 5 p po oi in nt ts s) ) Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC équilatéral direct de centre O et de côté a , (a 0 ). Soient I , J et K les milieux respectifs des segments BC    , CA     et AB     L’objectif de cet exercice est l’étude de quelques propriétés de la configuration précédente. 1.a) Faire une figure illustrant les données précédentes que l’on complétera au fur et à mesure. (On pourra prendre la droite (AB) horizontale) b) Montrer qu’il existe une unique rotation 1 r qui transforme A en B et C en A. c) Déterminer un angle de 1 r et préciser son centre. d)On considère la rotation 2 r de centre A et d’angle 3 . Déterminer 1 2 r r (B)  et caractériser 1 2 r r . 2) On considère les points D et E symétriques respectifs de I et J par rapport à K. a) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement g qui transforme A en K et J en E. b) Justifier que g est une symétrie glissante. Déterminer g(D) et donner la forme réduite de g. 4.a) Montrer qu’il existe une unique similitude directe 1 s qui transforme B en I et C en J. b) Déterminer le rapport et un angle de 1 s . Justifier que O est le centre de 1 s . 5) On considère les points M BC     , N CA    , P AB     , tels que BM CN AP x    , x 0,a    . a) Montrer que le triangle MNP est équilatéral et de centre O. b) Soit H le milieu de MN    . Déterminer le lieu géométrique de H lorsque M décrit BC    . c) A partir d’une position donnée de M sur BC    , montrer qu’il existe une unique similitude directe 2 s qui transforme (A,B,C) en (P,M,N). Préciser son centre. d) Préciser la position de M uploads/s3/ p5a-2014c.pdf