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UPB ANNÉE ACADÉMIQUE 2021-2022 Algèbre 1 Licence 1 ASSRI-MIAGE T D : Exercice 1

UPB ANNÉE ACADÉMIQUE 2021-2022 Algèbre 1 Licence 1 ASSRI-MIAGE T D : Exercice 1. Disposer les éléments 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 dans un diagramme de Venn, sachant que : • A ∩C = {1; 4; 5}; • B\A = {0; 3; 6}; • A ∪B ∪C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; • A ∩B = {2; 4; 5; 7}; • C\A = {0; 8}; • A ∩B ∩C = {4; 5} Exercice 2. On considère trois revues a, b et c. On considère E un ensemble de personnes. Soient A le sous ensemble de E composé de ceux qui lisent la revue a, B le sous ensemble de E composé de ceux qui lisent la revue b et C le sous ensemble de E composé de ceux qui lisent la revue c. A, B, C désignent respectivement les complémentaires dans E de A, B et C. Déterminer en fonction de A, B, C, A, B, C et E, l’ensemble des personnes : 1. Qui ne lisent que a et b. 2. Qui ne lisent que c. 3. Qui lisent a ou b et ne lisent pas c. 4. Qui ne lisent ni a ni b. Exercice 3. Écrire les ensembles suivants en extension : 1. A = {x | x est un nombre entier impair entre 1 et 15} 2. B = {x | x est un jour de la semaine comportant un a} 3. C = {x | x est un nombre entier et 2 < x < 8} 4. D = {nombres entiers compris entre √ 2 et 2π} 5. E = {x ∈C; ∃(n, p) ∈N × N∗, x = p n et 1 ≤p ≤2n ≤7} Exercice 4. Ecrire en compréhension les ensembles suivants : (1) [3, 8] (4) ]4, +∞[∪{2} (7) ] −3, 0]∪]1, 5] (2) ] −∞, 7[ (5) ] −3, +∞[∪] −∞, −8[ (8) {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} (3) [−9, 4[ (6) {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Exercice 5. A, B et C désignent des parties d’un même ensemble E. 1. Montrer que A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C). 2. Simpliﬁer A ∩(A ∪B). Exercice 6. Soient A, B et C des parties quelconques d’un ensemble E. On note A le complémentaire de A dans E. Simpliﬁer les ensembles suivants : (1) X = (A ∩B) ∪(A ∩B), (2) Y = (A ∪B) ∩(A ∪B), 1 (3) Z = A ∩B ∩(A ∩B), (4) U = [A ∩(B ∪C)] ∩[(B ∩C) ∪C], (5) V = (A ∩B) ∪(A ∩C) ∪[(A ∪B) ∩(A ∪C)]. Exercice 7. Soit E = {a, b, c, d, e, f, g} ; dans chacun des cas suivants, dire si la famille de parties est une partition de E. 1. A1 = {a, b, e}, A2 = {c, g} et A3 = {d}. 2. B1 = {c, e, g}, B2 = {a, d, f} et B3 = {b, e}. 3. C1 = {a; b; e; g}, C2 = {c; d; f}. Exercice 8. 1. Soit A = {1, 2, 3} et B = {a, b, c, d}. Déterminer A × B. 2. On considère l’ ensemble E = {1}. Déterminer P(P(E)). Exercice 9. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1. (2 < 3) et (2 | 4). 2. (2 < 3) et (2 | 5). 3. (2 < 3) ou (2 | 5). 4. (2 < 3) et (non(2 | 5)). 5. (non(2 < 3)) ou (2 | 5). 6. ((2 < 3) et (2 | 4)) ou (3 | 6). Exercice 10. 1. ∃x ∈R, ∀y ∈R, x + y > 0, 2. ∀x ∈R, ∃y ∈R, x + y > 0, 3. ∃x ∈R, ∀y ∈R, y2 > x, 4. ∀ε ∈R∗ +, ∃α ∈R∗ +, |x| < α ⇒|x2| < ε. Les assertions 1, 2, 3 et 4 sont elles vraies ou fausses ? Donner leurs négations. Exercice 11. Soient f, g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quantiﬁca- teurs les expressions suivantes : 1. f est majorée ; 2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne s’annule jamais ; 6. f est périodique ; 7. f est croissante ; 8. f est strictement décroissante ; 9. f n’est pas la fonction nulle ; 10. f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; 2 11. f atteint toutes les valeurs de N ; 12. f est inférieure à g ; 13. f n’est pas inférieure à g. Exercice 12. 1. Donner la négation des cinq assertions suivantes : P ∧Q; P ∨(Q ∧R); P ⇔Q; P ⇒Q; P ⇒(Q ⇒R). 2. Vériﬁer, à partir d’une table de vérité que ((P ⇔Q) ⇔R) ⇔(P ⇔(Q ⇔R)). Exercice 13. 1. En utilisant un raisonnement par l’absurde, démontrer qu’un rectangle qui a pour aire 170m2, a une longueur qui est supérieure à 13 m. 2. Ecrire la contraposée de l’implication x ̸= y ⇒x3 + x ̸= y3 + y et la démontrer. 3. Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 10(6n+2) + 10(3n+1) + 1 est divisible par 111 quel que soit n ∈N. 4. Montrer en utilisant un raisonnement par disjonction de cas que quel que soit n ∈ N, n3 + 5n est un entier multiple de 6. Exercice 14. Dans N∗on considère la relation notee ´|ˇ qui est la relation « divise », qui se lit « a divise b » ou encore « b est un multiple de a » ; la déﬁnition mathématique de cette relation étant a|b si, et seulement si, il existe k ∈N∗veriﬁant b = ka. 1. Démontrer que c’est une relation d’ordre sur N∗. Cet ordre est-il total ? Donner des éléments comparables et des éléments non comparables. 2. Démontrer que c’est une relation d’ordre sur toute partie A de N∗. 3. On considère la relation divise dans E = {2; 4; 6; 8; 10; 12}. (a) Construire le diagramme sagittal de cette relation. (b) Donner la représentation matricielle de cette relation. (c) E admet-il un élément minimum ? (d) E admet-il un élément maximum ? (e) E admet-il des éléments minimaux ? (f) E admet-il des éléments maximaux ? (g) Soit V = {2; 4}. Donner trois majorants de V dans E. (h) Soit T = {8; 10}. T admet-il des majorants dans E ? Donner deux majorants de T dans N∗. (i) Donner des minorants de T dans E. (j) Donner tous les minorants de T dans N∗. 3 (k) U = {4; 6; 8} admet-il une borne superieure dans E ? (l) U = {4; 6; 8} admet-il une borne superieure dans N∗? (m) U = {4; 6; 8} admet-il une borne inferieure dans E ? (n) U = {4; 6; 8} admet-il une borne inferieure dans N∗? Exercice 15. Soit E = {1; 2; 3; 4} et R la relation binaire sur E dont le graphe est {(1; 1); (1; 2); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 4); (3; 3); (3; 5); (4; 1); (4; 2); (4; 4); (5; 3); (5; 5)} 1. Vériﬁer que la relation R est une relation d’équivalence. 2. Faire la liste des classes d’équivalences distinctes et donner l’ensemble quotient . Exercice 16. 1. Soit f l’application de l’ensemble {1, 2, 3, 4} dans lui-même déﬁnie par : f(1) = 4, f(2) = 1 , f(3) = 2, f(4) = 2. Déterminer f −1(A) lorsque A = {2}, A = {1, 2}, A = {3}. 2. Soit g l’application de R dans R déﬁnie par g(x) = x2. (a) Déterminer g(B) lorsque B = [−2; −1], B = [1, 2], B = [−3, 2] (b) Déterminer g−1(C) lorsque C = {1}, C = [1, 2]. (c) Déterminer g−1(g(D)) pour D = [0, 1]. (d) Déterminer g(g−1(E)) pour E = [−1, 0]. Exercice 17. 1. Soit f et g de R vers R déﬁnies par f(x) = √x −3 et g(x) = x2 −1. Déﬁnir f ◦g et g ◦f. 2. Soit f et g de R vers R déﬁnies par f(x) = x2 + x et g(x) = 1 x −2. Déﬁnir f ◦g et g ◦f. Exercice 18. Dans l’ensemble des nombres réels, on déﬁnit la loi de composition interne ” ⋆” par ∀a, b ∈R, a ⋆b = a 1. ” ⋆” est elle associative ? 2. ” ⋆” admet elle un élément neutre ? 3. ” ⋆” est elle commutative ? Exercice 19. On déﬁnit sur R les lois ∗et ⊤par x ∗y = ax + by −1 (a ∈R, b ∈R), x⊤y = x + y −x × y avec + et × les opérations usuelles sur R 1. (a) Déterminer des conditions sur a et b pour que ∗soit commutative dans R. (b) Déterminer des conditions sur a et b pour que ∗soit associative dans R. 4 2. On pose a = b uploads/s3/ td-algebre-1.pdf