SESSION 2017 TSIMA02 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI ____________________ MATH

SESSION 2017 TSIMA02 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI ____________________ MATHEMATIQUES Mardi 2 mai : 14 h - 18 h ____________________ N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants. Le problème 1 nécessite l’usage du document-réponse (feuille de papier millimétré), qui est à rendre avec la copie. 1/8 A PROBLÈME 1 Étude d’une courbe On considère les deux fonctions f et g de la variable réelle t définies par : f(t) = t2 1 −t2 et g(t) = t3 1 −t2 . Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O, − → ı , − → ), on considère le point M(t) de coordonnées ( f(t), g(t)). On note C la courbe paramétrée {M(t) / t ∈R\{−1, 1}}. Partie I - Deux fonctions Q1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions f et g. Q2. Calculer f( √ 3) et g( √ 3). Q3. Justifier que f est une fonction paire et g une fonction impaire. Que peut-on en déduire pour le point M(−t) de C par rapport au point M(t)? Q4. Déterminer des fonctions équivalentes aux fonctions f et g en +∞. En déduire les limites lim t→+∞f(t) et lim t→+∞g(t). Q5. Déterminer les quatre limites lim t→1−f(t), lim t→1+ f(t), lim t→1−g(t) et lim t→1+ g(t). Q6. Justifier que les fonctions f et g sont dérivables sur [0, 1[∪]1, +∞[ avec pour dérivées respectives f ′ : t →f ′(t) = 2t (1 −t2)2 et g′ : t →g′(t) = t2(3 −t2) (1 −t2)2 . Les calculs seront détaillés. Q7. Déduire des questions précédentes les tableaux de variations des fonctions f et g sur [0, 1[∪]1, +∞[ dans lesquels figureront les limites ainsi que les valeurs de f( √ 3) et g( √ 3). Partie II - Tangente à l’origine et au point M( √ 3) Q8. Rappeler sans justification le développement limité en 0 à l’ordre 1 de u −→ 1 1 −u. Q9. Déterminer les développements limités des fonctions f et g en 0 à l’ordre 3. Q10. Sans calculer les dérivées secondes f ′′ et g′′ des fonctions f et g, montrer que f ′′(0) = 2 et g′′(0) = 0. Le théorème utilisé sera mentionné. Q11. En déduire les coordonnées d’un vecteur tangent à la courbe C en l’origine du repère. Q12. Déterminer les coordonnées d’un vecteur tangent à la courbe C au point M( √ 3). 2/8 Partie III - Asymptotes On note D la droite du plan d’équation y = x −1 2 et, pour t appartenant à l’ensemble de définition de f, N(t) le point de D d’abscisse f(t). Q13. Sachant que lim t→+∞f(t) = −1 et lim t→+∞g(t) = −∞, donner une interprétation graphique de la courbe C vis-à-vis de la droite d’équation x = −1 au voisinage de t = +∞. Dessiner sur la copie l’allure de la courbe C et la droite d’équation x = −1 au voisinage de t = +∞. Q14. Déterminer l’ordonnée yN(t) de N(t) en fonction de f(t). On se propose dans la suite de cette partie d’examiner la quantité g(t) −yN(t) qui représente la distance algébrique entre les points M(t) et N(t). Q15. Factoriser le trinôme P(t) = −2t2 + t + 1. Q16. On considère dans [0, 1[∪]1, +∞[ la fonction δ : t −→δ(t) = g(t) −f(t) + 1 2. Montrer que, pour tout t de [0, 1[∪]1, +∞[, δ(t) = P(t) 2(t + 1). Q17. Quel est le signe de δ(t) lorsque t est dans un voisinage de 1? Q18. Combien vaut la limite lim t→1 (g(t) −yN(t))? Dessiner sur la copie l’allure de la courbe au voisinage de t = 1. Partie IV - Tracé de la courbe Q19. En tenant compte des informations issues des questions précédentes et en utilisant le document-réponse (à rendre avec la copie), tracer la courbe suivante : C1 = {M(t) / t ∈[0, 1[∪]1, +∞[} . On utilisera l’échelle suivante : 2 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses et 2 cm pour 1 unité sur l’axe des ordonnées. On considèrera par ailleurs que √ 3 ≃1, 73. On fera apparaître : - la droite D; - les vecteurs tangents à l’origine du repère et au point M( √ 3); - la droite d’équation x = −1. Q20. En utilisant une couleur différente ou en pointillés, compléter le tracé précédent en traçant la courbe suivante : C2 = {M(t) / t ∈] −∞, −1[∪] −1, 0]} . 3/8 PROBLÈME 2 Marche aléatoire sur le net Internet peut être modélisé par un graphe dont les sommets sont les pages internet (ou sites) et les arêtes les liens entre les pages. L’idée de l’algorithme du «PageRank» est de surfer au hasard sur Internet et de compter combien de fois on passe sur chaque page. Une page p peut être considérée plus populaire que d’autres pages elles-mêmes populaires lorsque ces dernières ont un lien vers la page p. Dans ce problème, nous étudions deux exemples avec quatre pages puis trois pages. La partie I traduit le premier exemple sous une forme matricielle. Dans les parties II et III, on s’intéresse à l’étude du second exemple. La partie IV classe les trois pages du second exemple par ordre de popularité. Partie I - Un premier exemple Dans le schéma suivant, on considère un internet simplifié constitué de quatre pages internet. Par exemple, la page 1 possède un lien vers la page 2, un vers la page 3 et un vers la page 4, etc. La page 3 ne possède qu’un seul lien vers la page 1. 1 2 4 3 Figure 1 – Exemple n◦1 • i et j sont des indices de l’ensemble {1, 2, 3, 4} et n est un entier naturel de N. • pn( j) est la probabilité que l’internaute soit sur la page j à l’instant τ = n. • On note ti,j la probabilité de se trouver à la page i à l’instant τ = n + 1 sachant qu’on était sur la page j à l’instant τ = n. On fait l’hypothèse qu’il y a équiprobabilité entre les liens d’une page. Comme la page 1 pointe sur trois autres pages, la probabilité t3,1 d’aller de la page 1 vers la page 3 est 1 3. • On fait également l’hypothèse qu’une page a une probabilité nulle de pointer sur elle-même, donc pour tout i de {1, 2, 3, 4}, ti,i = 0. • On note An(j) l’événement " être sur la page j à l’instant τ = n " et on supposera que ces événements sont de probabilité non nulle. • On note T4 la matrice (ti, j)1≤i≤4 1≤j≤4. Cette matrice s’appelle matrice de transition dont le schéma présenté sur la figure 1 s’appelle graphe. 4/8 Q21. Compléter la matrice T4 correspondante à l’exemple no1 en remplaçant les ti,j par leurs valeurs : T4 =                                0 t1,2 t1,3 t1,4 1 3 t2,2 t2,3 t2,4 1 3 1 2 t3,3 t3,4 1 3 t4,2 t4,3 t4,4                                . Q22. Pour j de {1, 2, 3, 4}, calculer les sommes 4  i=1 ti,j. Justifier soigneusement le résultat. Q23. En précisant le théorème utilisé, montrer que : pn+1(1) = t1,1pn(1) + t1,2pn(2) + t1,3pn(3) + t1,4pn(4). Q24. Donner sans justification l’expression de pn+1(2), pn+1(3) et pn+1(4) en fonction des pn( j). Q25. On note Un le vecteur colonne : Un =                pn(1) pn(2) pn(3) pn(4)                . Montrer que pour tout n de N, Un+1 = T4Un. Q26. En déduire que pour tout n de N, Un = T n 4U0. Partie II - Étude d’un polynôme et de trois suites On note R[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels. On définit dans R[X] le polynôme S (X) = 4X3 −3X −1. Q27. Vérifier que λ = 1 est une racine simple et µ = −1 2 est une racine double de S . Q28. Soit n un entier naturel. Justifier l’existence d’un triplet (αn, βn, γn) de R3 et d’un polynôme Q(X) de R[X] tel que : Xn = S (X)Q(X) + αnX2 + βnX + γn (1). On ne cherchera pas à déterminer uploads/s3/ ccp-tsi-2017-maths-epreuve 1 .pdf

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