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A. P . M. E. P . [ Brevet de technicien supérieur \ Opticien–lunetier 14 mai 20

A. P . M. E. P . [ Brevet de technicien supérieur \ Opticien–lunetier 14 mai 2013 Exercice 1 10 points Avant une greffe de cornée, la cornée prélevée est plongée dans un liquide physio- logique aﬁn de provoquer l’évacuation du surplus d’eau contenu dans le tissu. On étudie l’évolution dans le temps de l’épaisseur de la cornée. Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante A. Statistique à deux variables Une étude expérimentale de l’épaisseur y de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du temps t, exprimé en heures, a permis d’obtenir le tableau suivant. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 983 786 700,64 662,08 645,22 637,83 634,57 633,13 632,5 632,22 632,1 Le nuage des points de coordonnées (t ; y) correspondant est représenté sur le gra- phique suivant. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r r r r r r r r r r r Temps en heures O 1. À l’aide du graphique et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement afﬁne de y en t n’est pas approprié. Brevet de technicien supérieur A. P . M. E. P . 2. On pose z = ln(y −632) et on obtient le tableau suivant, où les valeurs appro- chées sont arrondies à 10−2. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 5,86 5,04 4,23 3,4 2,58 1,76 0,94 0,12 −0,69 −1,51 −2,3 a. Donner une équation de la droite de régression de z en t, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme z = at + b, où a et b sont à arrondir à 10−2. (Pour cette question, on utilisera les fonctions de la calculatrice. Le détail des calculs n’est pas demandé). b. En déduire une expression de y en fonction de t, selon cet ajustement. B. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : 1,22y′ + y = 632 où y est une fonction inconnue de la variable t, déﬁnie et dérivable sur [0 ; +∞[, et ′y, la fonction dérivée de y. On admet que la fonction correspondant à l’épaisseur de la cornée, exprimée en mi- cromètres, en fonction du temps, exprimé en heures, vériﬁe l’équation différentielle (E). 1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : 1,22y′ + y = 0. 2. Soit g la fonction déﬁnie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 632. Vériﬁer que g est une solution de (E). 3. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) vériﬁant la condition initiale f (0) = 983. C. Étude d’une fonction Soit f la fonction déﬁnie sur [0 ; +∞[ par f (t) = 632+351e−0,82t. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal. 1. a. Calculer f ′(t) pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[. b. Étudier le signe de f ′(t) sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. Les questions a., b. et c. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justiﬁcation. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. a. lim t→+∞f (t) = 0 lim t→+∞f (t) = 351 lim t→+∞f (t) = 632 lim t→+∞f (t) = +∞ Opticien–lunetier 2 14 mai 2013 Brevet de technicien supérieur A. P . M. E. P . b. La courbe C admet une asymptote dont une équation est : t = 632 y = 632 t = 0 y = 0 c. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est : y = −0,82t +632 y = 983t −287,82 y = −287,82t +983 y = 632t −0,82 Exercice 2 10 points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Une entreprise fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-ﬁnis. A. Probabilités conditionnelles Ce fabriquant possède un stock de verres semi-ﬁnis provenant de deux fournisseurs différents, désignés par « fournisseur 1 » et « fournisseur 2 ». On admet que 60 % des verres semi-ﬁnis proviennent du fournisseur 1 et 40 % des verres semi-ﬁnis proviennent du fournisseur 2. On admet que 2 % des verres semi-ﬁnis du fournisseur 1 sont défectueux et que 1 % des verres semi-ﬁnis du fournisseur 2 sont défectueux. On prélève au hasard un verre semi-ﬁni dans ce stock. On considère les évènements suivants : A : « le verre semi-ﬁni prélevé provient du fournisseur 1 » ; B : « le verre semi-ﬁni prélevé provient du fournisseur 2 » ; D : « le verre semi-ﬁni prélevé est défectueux ». 1. Calculer la probabilité P(B ∩D). 2. Montrer que la probabilité que le verre semi-ﬁni prélevé soit défectueux est égale à 0,016. 3. Calculer la probabilité conditionnelle PD(B). (On rappelle que PD (B) est la probabilité de l’évènement B sachant que l’évè- nement D est réalisé.) B. Loi binomiale. loi de Poisson et loi normale Sauf mention du contraire, dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à 10−3. On prélève au hasard n verres semi-ﬁnis dans un stock, pour vériﬁcation. On ad- met que la probabilité qu’un verre semi-ﬁni prélevé au hasard dans ce stock soit défectueux est égale à 0,016. Le stock est sufﬁsamment important pour assimiler un prélèvement de n verres semi-ﬁnis à un tirage avec remise de n verres. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de n verres semi-ﬁnis dans ce stock, associe le nombre de verres semi-ﬁnis défectueux. 1. Justiﬁer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. 2. Dans cette question n = 250. a. Calculer l’espérance mathématique E(X ). Interpréter le résultat. b. Calculer la probabilité qu’aucun verre ne soit défectueux. c. En déduire la probabilité qu’au moins un verre soit défectueux. d. On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre λ de cette loi de Poisson. Opticien–lunetier 3 14 mai 2013 Brevet de technicien supérieur A. P . M. E. P . e. On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de pa- ramètre obtenu au d. Calculer, avec la précision permise par la table du formulaire, P(Y ⩾1). 3. Dans cette question n = 1000. On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approchée par la loi normale de moyenne 16 et d’écart type 3,97. a. Justiﬁer ces paramètres par le calcul. b. Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne de- mande aucune justiﬁcation. La réponse juste rapporte un point. Une ré- ponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 16 et d’écart type 3,97. Pour déterminer, à l’aide de cette variable aléatoire, la probabilité que, dans un prélèvement de 1 000 verres semi-ﬁnis, il y ait au moins 18 verres défectueux, on calcule P(Z ⩾17,5). La valeur approchée obtenue, arrondie à 10−2, est : 0,35 0,38 0,65 C. Intervalle de conﬁance Ce fabriquant effectue un sondage auprès de ses clients opticiens. Il souhaite éva- luer la proportion inconnue p de clients intéressés par un nouveau verre. Pour cela, il interroge au hasard un échantillon de 100 opticiens parmi sa clientèle. Cette clien- tèle est sufﬁsamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d’un tirage avec remise. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des opticiens intéressés par ce nouveau verre. On suppose que F suit la loi normale de moyenne p inconnue et d’écart type r p(1−p) 100 . Pour l’échantillon prélevé, on constate que 70 opticiens sont intéressés par le nou- veau verre. 1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue p. 2. Déterminer un intervalle de conﬁance centré sur f de la proportion p avec le coefﬁcient de conﬁance 95 %. Arrondir les bornes de l’intervalle à 10−2. 3. Peut-on afﬁrmer que p est compris dans cet intervalle de conﬁance ? Pour- quoi ? Opticien–lunetier 4 14 mai 2013 uploads/s3/ bts-opticien-mai-2013.pdf