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Chapitre 3 : Transformée de Laplace et Systèmes Analogiques Plan du cours : III

Chapitre 3 : Transformée de Laplace et Systèmes Analogiques Plan du cours : III.1. Systèmes à temps continu III.1.1. Définition III.1.2. Linéarité III.1.3. Convolution III.2. La transformée de Laplace III.2.1. Définition de la transformée de Laplace III.2.2. Propriétés III.3. Transformée inverse III.4. Théorème de la valeur initiale et valeur finale III.5. Fonction de Transfert III.1. Systèmes à temps continu : III.1.1. Définition : Un système est un bloc mathématique qui permet de transformer un signal quelconque. Le système de base a une entrée et une sortie. Le système peut représenter un phénomène physique, comme un thermomètre, où l’entrée est un signal électrique et la sortie est la chaleur. Un système peut aussi représenter un réseau de transmission de données, ou un filtre numérique dans un ordinateur. Une représentation générale est donnée comme suit : Pour les systèmes à temps continu, les équations qui relient l’entrée à la sortie sont typiquement des équations différentielles. Les systèmes étudiés ici sont tous des systèmes linéaires. Ils possèdent quelques caractéristiques très importantes. III.1.2. Linéarité : Un système est dit linéaire s’il possède deux caractéristiques : homogénéité et additivité. Une troisième propriété, l’invariance dans le temps, n’est pas strictement nécessaire pour la linéarité, mais est une composante importante dans la plupart des techniques d’analyse des signaux. L’homogénéité, ou proportionnalité, veut dire qu’une variation dans l’amplitude au signal d’entrée produit une même variation d’amplitude à la sortie. C’est-à-dire, si on applique un signal x(t) à un système et qu’on obtient une sortie y(t), alors une entrée kx(t) produira une sortie ky(t) comme le montre la figure suivante : L’additivité veut dire que si on applique deux ou plusieurs signaux à l’entrée, alors la sortie est la somme individuelle de leurs réponses. Exemple : soit un système où on applique une entrée x1 (t) qui produit une sortie y1 (t), et une entrée x2 (t) produit une sortie y2 (t). Si le système possède l’additivité, si on applique les deux entrées en même temps, x1 (t) + x2 (t), alors la sortie sera y1 (t) + y2 (t). Un exemple est donné à la figure suivante : III.1.2.1. Propriétés des systèmes linéaires : Réponse impulsionnelle : La réponse impulsionnelle est une caractéristique très importante des systèmes. Si l’entrée à un système est un pulse δ(t), alors la sortie est appelée la réponse impulsionnelle h(t). On peut démontrer que si on connait la réponse impulsionnelle, on peut calculer la sortie pour n’importe quelle entrée (pour un système linéaire). La réponse impulsionnelle est donc très importante pour caractériser les systèmes physiques. Il suffit d’envoyer un pulse de courte durée puis mesurer la réponse pour être capable de trouver la réponse pour n’importe quelle entrée. Un exemple de ceci est la communication entre une tour et un téléphone cellulaire. Pour savoir comment les signaux vont être réfléchis par les édifices, les voitures, les arbres, il faut la réponse impulsionnelle du système. On envoie un pulse entre la tour et le téléphone cellulaire, ce qui permet par la suite d’éliminer les réflexions et ainsi avoir le signal original, la voix, qui est perçue correctement par l’utilisateur. Avec la réponse impulsionnelle, on n’a pas besoin de connaitre tous les détails du fonctionnement d’un système. III.1.3. Convolution : La convolution est un outil très important dans le calcul de la sortie d’un système. Pour n’importe quelle entrée x(t), on peut trouver la sortie y(t) si on connait la réponse impulsionnelle h(t). La convolution est donnée par : Remarquons le changement de variable : On fait l’intégrale selon λ, mais la réponse est en fonction du temps t. On utilise plus souvent une représentation simplifiée pour noter la convolution : Où on lit « la convolution de h(t) avec x(t) ». La notation h(t) * x(t) implique qu’on utilise la forme intégrale. Pour des systèmes réels, la sortie est nulle pour t < 0 et on peut donc simplifier l’intégrale à : III.2. La transformée de Laplace : III.2.1. Définition de la transformée de Laplace : La transformée de Laplace d’une fonction est donnée par l’expression suivante : Où le symbole L{F(t)} veut dire la Transformée de Laplace de f(t). On utilise aussi l’expression F(s) pour décrire la transformée de Laplace : F(s) = L{f(t)}. La transformée de Laplace permet donc de transformer le problème du domaine du temps au domaine de la fréquence. Lorsqu’on obtient la réponse voulue dans le domaine de la fréquence, on transforme le problème à nouveau dans le domaine du temps, à l’aide de la Transformée inverse de Laplace. Le diagramme suivant illustre ce concept : L’avantage principal d’analyser des systèmes de cette façon est que les calculs sont beaucoup plus simples dans le domaine de Laplace. Dans le domaine de Laplace, les dérivées et intégrales se combinent à l’aide de simples opérations algébriques ; pas besoin d’équations différentielles. Exemples : Pour la fonction échelon : La transformée de Laplace d’un exponentiel décroissant est : Le tableau suivant présente la liste des transformées de Laplace les plus courantes : III.2.2. Propriétés : La transformée de Laplace a plusieurs propriétés intéressantes qui rendent le calcul de fonctions complexes plus simple. On note entre autre la linéarité, dérivée et les théorèmes de valeurs finales et initiales. Le tableau suivant montre ces propriétés : Convolution : La convolution est plus simple dans le domaine de Laplace : L{h(t) * x(t)} = H(s)X(s) III.3. Transformée inverse de Laplace : Après avoir multiplié les transformées de Laplace de h(t) et x(t), pour obtenir la réponse finale dans le domaine du temps, il faut faire la transformée inverse. L’expression obtenue est souvent une fonction rationnelle de s : c’est le rapport de deux polynômes de s. Pour la plupart des systèmes physiques, l’expression obtenue est une fonction rationnelle de s. Si on peut inverser n’importe quelle fonction rationnelle de s, on peut résoudre les problèmes de convolution. De façon générale, il faut trouver la transformée inverse d’une fonction qui a la forme : On peut écrire l’expression de F(s) sous une autre forme : Où zi est appelé un zéro de F(s): ce sont les racines du numérateur, et pi est appelé un pôle de F(s) : ce sont les racines du dénominateur. De façon générale, F(s) est appelée la fonction de transfert. Exemple : On peut écrire : K1 = 2 Pour trouver K2, on fait le même processus, sauf qu’on multiplie par (s + 2) cette fois. K2 = -2 Donc, Qui donne la transformée inverse suivante : F(t) = (2e-t -2e-2t)u(t) Note : La fonction u(t) doit être appliquée à toute transformée inverse. Cependant, pour alléger le texte, on n’écrira plus le u(t). III.4. Théorème de la valeur initiale et valeur finale : Les théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale sont utiles parce qu’ils permettent de calculer F(s) à partir de f (t) à 0 ou ∞. On peut donc calculer les valeurs initiales et finales de f(t) avant de faire la transformée inverse d’une fonction, pour s’assurer si le tout fait du sens. Le théorème de valeur initiale est : Il y a une seule restriction pour l’utilisation de ce théorème : f(t) ne doit pas contenir d’impulsions. Le théorème de la valeur finale est : La restriction pour l’utilisation de ce théorème est que la partie réelle des pôles de F(s) doit être négative. Exemple : Calculer la valeur finale de f(t), si : On applique le théorème (les pôles de F(s) ont des parties réelles négatives). On peut confirmer ce résultat avec la valeur calculée de f(t). III.5. Fonction de transfert : Soit un système quelconque donné par la figure suivante : La fonction de transfert d’un système est donnée par : Elle permet de relier la sortie d’un système à son entrée. Pour les expressions de modélisation, nous avons : Habituellement, n ≥ m. La fonction de transfert est une représentation mathématique d’un système. Cette fonction peut être également une représentation de divers systèmes (mécanique, électrique, etc…). On obtient la fonction de transfert d’un système à partir des équations différentielles qui décrivent ce système, avec des conditions initiales nulles. C’est un modèle du système, indépendant du signal d’entrée et de l’amplitude (et donc un système linéaire). Les pôles et les zéros : Les pôles de F(s) qui sont les racines du dénominateur X(s) ; ils déterminent complètement la partie transitoire (oscillation et amortissement) des réponses temporelles. Les zéros de F(s) qui sont les racines du numérateur Y(s) ; leur effet n'intervient que sur les amplitudes des composantes temporelles des signaux f(t). Bonne compréhension uploads/s3/ chapitre-3-signaux-et-systemes.pdf