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Chapitre 12 Continuité Objectifs – Déﬁnir la notion de continuité et étudier la

Chapitre 12 Continuité Objectifs – Déﬁnir la notion de continuité et étudier la structure de C 0(I,R). – Étudier la continuité sur un intervalle : théorème des valeurs intermédiaires et ses conséquences. – Étudier la notion d’uniforme continuité et le théorème de Heine. – Étudier les liens entre la continuité et la monotonie d’une fonction. – Déﬁnir la notion d’approximation par les fonctions en escalier. – Étendre la notion de continuité aux fonctions à valeurs complexes. Sommaire I) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1) Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2) Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II) Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1) Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2) Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3) Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 III) Continuité et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2) Monotonie et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3) Théorème des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 IV) Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1) Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2) Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 V) Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 VI) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 1 Rappels Chapitre 12 : Continuité I) Rappels 1) Déﬁnitions . . . DÉFINITION 12.1 Soit f : I →R une fonction et soit a ∈I, on dit que f est – continue en a lorsque lim t→a f (t) = f (a) (sinon on dit que a est un point de discontinuité de f ). – continue à gauche en a lorsque I∩]−∞;a[̸= ; et lim t→a−f (t) = f (a). – continue à droite en a lorsque I∩]a;+∞[̸= ; et lim t→a+ f (t) = f (a). Si f est continue en tout point de I, alors on dit que f est continue sur I. L’ensemble des fonctions continues sur I est noté C 0(I,R). Remarques : a) f est continue en a ∈I ssi ∀ε > 0,∃α > 0,∀x ∈I,|x −a| < α = ⇒|f (x)−f (a)| < ε. b) f est continue en a ssi lim x → x̸=aa f (t) = f (a), lorsque a n’est pas une borne de I, ceci équivaut encore à lim t→a+ f (t) = f (a) et lim t→a−f (t) = f (a), i.e. f est continue à gauche et à droite en a. c) f est continue en a ssi pour toute suite (un) d’éléments de I, qui tend vers a, la suite (f (un)) tend vers f (a). Prolongement par continuité : Soit f : I →R une fonction et soit a une extrémité de I réelle et n’appartenant pas à I, si f admet une limite ﬁnie ℓen a, alors la fonction ˜ f : I∪{a} →R déﬁnie par : ˜ f (x) =    f (x) si x ̸= a ℓ si x = a est continue sur I∪{a}. Cette fonction est appelée prolongement de f par continuité en a. 2) Théorèmes généraux . . . THÉORÈME 12.1 . Soient f ,g deux fonctions continues sur I, et soit α un réel, alors : – f + g, f × g et αf sont continues sur I. – Si g ne s’annule pas sur I alors f g est continue sur I. – Si h : J →R est une fonction continue sur l’intervalle J et si Im(f ) ⊂J, alors h ◦f est continue sur I. Conséquences : a) Il découlent des théorèmes généraux que C 0(I,R) est une R-algèbre pour les opérations usuelles sur les fonctions. b) Si f et g sont continues sur I alors sup(f ,g) et inf(f ,g) le sont (en particulier f + et f −le sont), car : sup(f ,g) = f + g +|f −g| 2 et inf(f ,g) = f + g −|f −g| 2 . MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 2 Fonctions continues sur un intervalle Chapitre 12 : Continuité II) Fonctions continues sur un intervalle 1) Théorème des valeurs intermédiaires . . . THÉORÈME 12.2 . Soit f : [a;b] →R une fonction continue sur le segment [a;b] (a < b), si f (a) et f (b) sont de signes contraires, alors f s’annule au moins une fois, i.e. : ∃ℓ∈[a;b], f (ℓ) = 0. Conséquences : a) Il découle de ce théorème que si f : I →R est continue sur l’intervalle I et si f change de signe, alors f s’annule au moins une fois sur I. b) Une fonction continue sur un intervalle et qui ne s’annule pas, garde un signe constant. . . . THÉORÈME 12.3 (des valeurs intermédiaires) . Si f : I →R est continue sur l’intervalle I, alors Im(f ) est un intervalle. Plus précisément, si a,b ∈I et si c est un réel compris entre f (a) et f (b), alors il existe α entre a et b tel que f (α) = c. 2) Continuité sur un segment . . . THÉORÈME 12.4 uploads/s3/ chap-12.pdf