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Combinatoire et dénombrement – Exercices Exercice 1 corrigé disponible Deux fil

Combinatoire et dénombrement – Exercices Exercice 1 corrigé disponible Deux filles et trois garçons se prénomment Alice, Brigitte, Christophe, Da- vid et Eric. On écrit chaque prénom sur un carton et on place les cinq car- tons dans une urne. On tire au hasard un premier carton de l’urne puis, sans le remettre, un deuxième carton. On obtient ainsi un couple de pré- noms. 1.Déterminer le nombre de couples de prénoms qu’il est possible d’obtenir de cette manière. 2. Déterminer le nombre de 2-uplets: « obtenir deux prénoms féminins ». On tire un troisième carton 3. Déterminer le nombre de 3-uplets : « obtenir deux prénoms masculins et un prénom féminin ». Exercice 2 corrigé disponible Une urne contient 7 boules, 5 noires et 2 rouges, indiscernables au toucher. On extrait les 7 boules l’une après l’autre. On appelle tirage la suite de 7 extractions de boules. 1. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. Déterminer le nombre de tirages pour lesquels la première boule tirée est rouge. 3. Déterminer le nombre de tirages pour lesquels la première boule tirée est noire et la deuxième boule tire est rouge. 4. Déterminer le nombre de tirages pour lesquels la première boule noire ar- rive en troisième position. Exercice 3 corrigé disponible On souhaite peindre un train de n wagons avec p couleurs (p≤n) de telle sorte que deux wagons consécutifs n’aient pas la même couleur. On note T(n,p) le nombre de possibilités. 1. Calculer T(n,2). 2. Combien a-t-on de couleurs possibles en fonction de p pour peindre le premier wagon sachant que le train n’est pas peint ? 3. Combien a-t-on de couleurs possibles pour peindre le deuxième wagon sa- chant que seul le premier wagon est peint ? 4. Combien a-t-on de couleurs possibles pour peindre le troisième wagon sachant que seuls les 2 premiers wagons sont peint ? 5. En itérant le raisonnement, combien a-t-on de couleurs possibles pour peindre le k-ième wagon sachant que seuls les k-1 premiers wagons sont peints ? 6. Calculer alors T(n,p). Exercice 4 corrigé disponible On dispose de trois crayons de couleurs (bleu, rose et vert) et on colorie les quatre éléments du modèle : le chapeau, le corsage, la jupe et les chaussures. 1. De combien de façons peut-on colorier cette figure ? 2. En admettant que toutes les combinaisons ont la même probabilité d’être ti- rées au sort, évaluer la probabilité qu’une figure tirée au hasard ait un corsage colorié en vert. Exercice 5 corrigé disponible Les 35 élèves d’une classe sont répartis en 4 catégories selon leur taille. La catégorie 1 contient 7 élèves, la catégorie 2 en contient 5, la catégorie 3 en contient 9 et la catégorie 4 en contient 14. 1. Combien peut-on former de groupes de 7 élèves avec tous les élèves de la classe ? 2. Combien y a-t-il de groupes de 7 élèves formés par des élèves de catégorie 1 ? De catégorie 3 ? 3. Combien y a-t-il de groupes de 7 élèves contenant exactement 3 élèves de ca- tégorie 1 et 2 élèves de catégorie 2 ? 1/8 Combinatoire et dénombrement – Exercices Mathématiques Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021 http s ://physique-et-maths.fr Exercice 6 corrigé disponible Une urne contient 8 boules blanches et 6 boules noires, chaque boule ayant la même probabilité d’être tirée. 1. On tire simultanément de l’urne 5 boules. Quelle est la probabilité d’obte- nir : 3 blanches et 2 noires ? des boules de couleurs différentes ? 2.On tire successivement 5 boules avec remise de chaque boule tirée. Quelle est la probabilité d’avoir : 3 boules blanches puis 2 noires ? Exercice 7 corrigé disponible Une urne contient 5 boules rouges, 4 noires, 3 vertes. On tire quatre boules dans cette urne simultanément 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Déterminer le nombre de cas suivant : a.obtenir trois boules rouges. b.obtenir quatre boules de la même couleur. c.obtenir quatre boules de couleurs différentes. Exercice 8 1. Démontrer par le calcul l’égalité suivante pour p et n entier positif avec p≤n -2: ( n p)=( n−2 p )+2( n−2 p−1)+( n−2 p−2) 2. Démontrer les égalités suivantes : ( n p)=( n n−p) et ( n p)=( n−1 p−1)+( n−1 p ) Exercice 9 corrigé disponible Un sac contient 13 jetons indiscernables au toucher, 3 jetons noirs marqués A, B et C et 10 jetons blancs numérotés de 1 à 10. On extrait simultanément 5 je- tons au hasard. On considère les 3 événements suivants : R : « Obtenir les 3 jetons noirs parmi les 5 jetons extraits ». S : « Obtenir le jeton marqué C parmi les 5 jetons extraits ». T : « Obtenir au moins un jeton noir parmi les 5 jetons extraits ». Calculer le nombre de cas de R, S et T Exercice 10 corrigé disponible On rappelle qu'une anagramme d'un mot est un autre mot qui contient les mêmes lettres. Par exemple REVISE et SERVIE sont des anagrammes. Une ana- gramme peut avoir un sens ou non. 1. Combien CHERS a-t-il d'anagrammes ? Combien CHERE a-t-il d'anagrammes ? 2. Combien CHERCHER a-t-il d'anagrammes ? 3. Combien RECHERCHER a-t-il d'anagrammes ? Exercice 11 corrigé disponible Une porte est munie d’un digicode dont le clavier porte les touches 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C et D. Un code est constitué de 3 chiffres et de 2 lettres (éventuellement identiques). Cha- cune des lettres est intercalée entre les chiffres (par exemple « 2C9A1 »). Combien de codes peut-on constituer avec ces règles ? Exercice 12 corrigé disponible 1. Deux équipes de hockeys de 12 et 15 joueurs échangent une poignée de main à la fin d’un match : chaque joueur d’une équipe serre la main de chaque joueur de l’autre équipe. Combien de poignées de main ont été échangées ? 2. Soit A l'ensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul. a. Calculer le nombre d'éléments de A. b. Dénombrer les éléments de A : - composés de quatre chiffres distincts - composés d'au moins deux chiffres identiques - composés de quatre chiffres distincts autres que 5 et 7 2/8 Combinatoire et dénombrement – Exercices Mathématiques Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021 http s ://physique-et-maths.fr Exercice 13 corrigé disponible 1. Un questionnaire à choix multiples, autorisant une seule réponse par question, comprend 15 questions. Pour chaque question, on propose 4 réponses pos- sibles. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ? 2. Raymond Queneau a écrit un ouvrage intitulé Cent mille milliards de poèmes Il est composé de 10 pages contenant chacune 14 vers Le lec- teur peut composer son propre poème de 14 vers en prenant le premier vers de l’une des 10 pages puis le deuxième vers de l’une des 10 pages et ainsi de suite jusqu’au quatorzième vers. Justifier le titre de l’ouvrage 3. En informatique, on utilise le système binaire pour coder les caractères. Un bit (binary digit : chiffre binaire) est un élément qui prend la valeur 0 ou la valeur 1. Avec 8 chiffres binaires (un octet), combien de caractères peut-on coder ? 4. Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ? Com- bien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ne compor- tant pas le chiffre 0 ? Exercice 14 corrigé disponible 1. A l’occasion d’une compétition sportive groupant 18 athlètes, on attribue une médaille d’or, une d’argent, une de bronze. Combien y-a-t-il de distribu- tions possibles (avant la compétition, bien sûr…) ? 2. Un groupe d'élèves de terminale constitue le bureau de l'association " Bal des Terms : le succès ". Ce bureau est composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier. Combien y a-t-il de bureaux possibles ? ( il y a 24 élèves dans la classe ) 3. Six personnes choisissent mentalement un nombre entier compris entre 1 et 6. a. Combien de résultats peut-on obtenir ? b. Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ? Exercice 15 corrigé disponible Calculer simplement ( 5 1)+( 5 2)+( 5 3)+( 5 4) Exercice 16 corrigé disponible 1. Les nombres 5, -1 et 3 constituent la solution d’un système de trois équations à trois inconnues. Donner tous les triplets différents qui peuvent être la solution de ce système 2. Au loto, il y a 49 numéros. Une grille de loto est composée de 6 de ces numéros. Quel est le nombre de grilles différentes ? 3. Christian et Claude font partie d’un club de 18 personnes. On doit former un groupe constitué de cinq d’entre elles pour représenter le club à un spectacle. a. Combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer ? b. Dans combien de ces groupes peut figurer Christian ? c. Christian et Claude ne pouvant se supporter, combien de groupes de 5 per- sonnes peut-on constituer de telle façon que Christian et Claude ne se re- trouvent pas ensemble ? Exercice 17 Exercice 18 uploads/s3/ combinatoire-denombrement-exercices.pdf