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Cours de mathématiques Classe de Troisième C HAPITRE 7 A PPLICATIONS AFFINES C

Cours de mathématiques Classe de Troisième C HAPITRE 7 A PPLICATIONS AFFINES C OMPARER DEUX QUANTITÉS .....................................................................................................2 REPÈRES ET GRAPHIQUES.............................................................................................................4 EXEMPLES D'APPLICATIONS LINÉAIRES................................................................................7 TRANSLATION...............................................................................................................................10 APPLICATIONS AFFINES............................................................................................................14 ÉQUATIONS DE DROITES.........................................................................................................16 D ROITES PERPENDICULAIRES ..................................................................................................20 DROITES ET INÉQUATIONS....................................................................................................21 LA LEÇON.........................................................................................................................................23 EXERCICES.......................................................................................................................................29 CORRIGÉS DES EXERCICES........................................................................................................40 Applications affines Page 1 Cours de mathématiques Classe de troisième Fiche d'activité C OMPARER DEUX QUANTITES écart et rapport Comparer deux nombres, c'est trouver le moyen de pouvoir dire quel est le plus grand des deux, et donc quel est le plus petit. Et, si possible, de donner plus de précision. Comparer deux grandeurs, c'est trouver une comparaison qui convienne pour tous les cas. Dans tous les cas, on dispose de deux moyens de comparaison : différence et quotient. La différence permet de dire combien il y a en plus. Le quotient (que l’on appelle aussi le rapport) permet de dire combien de fois plus. Exemple 1 : écart constant Comparons les âges pour une mère et son enfant au fil des années. Quand l'enfant naît, la mère a 24 ans. âge de la mère 24 25 26 28 32 40 60 80 âge de l'enfant différence d'âge entre la mère et l'enfant Age de la mère par rapport à celui de l'enfant Que peut-on dire des différences d’âges ? Que peut-on dire des rapports des âges ? Exemple 2 : rapport constant J Les triangles ci-contre sont construits de manière que les côtés (BC), (DE), (FG), (HI) et (JK) soient tous parallèles. Mesurer les longueurs des côtés de ces triangles et reporter ces mesures dans le tableau ci-dessous, afin de pouvoir ensuite compléter le second tableau. H F D B A C E G I K Comparaison du triangle ABC avec le triangle … ADE AFG AHI AJK AD–AB= AF–AB= AH–AB= AJ–AB= AE–AC= AG–AC= AI–AC= AK–AC= DE–BC= FG–BC= HI–BC= JK–BC= AD =A E =DE = A F =AG =FG = AH = AI = HI = AJ =AK = J K = A B A C BC A B AC BC AB AC B C AB AC BC Quelles conclusions peut-on en tirer quant aux écarts et aux rapports ? Page 2 Applications affines Cours de mathématiques Classe de troisième Fiche d'activité Exemple 3 : Température en degrés Fahrenheit Dans des pays anglo-saxons, on utilise les degrés Fahrenheit pour mesurer la température. Pour convertir les degrés centigrade en degrés Fahrenheit, on utilise le procédé suivant : Degrés centigrade ¸ 5 ´ 9 + 32 Degrés Fahrenheit Degrés Fahrenheit - 32 ¸ 9 ´ 5 Degrés centigrade Compléter le tableau suivant de correspondance des températures : C : Température en degrés centigrade 20° F : Température en degrés Fahrenheit 0° 100° Écart F – C Rapport F C 1. Quelles conclusions peut-on en tirer quant aux écarts et aux rapports ? Existe-t-il un des deux modes de comparaison qui permette de comparer dans tous les cas ces deux systèmes de mesure ? 2. Si la température augmente de 18°C, de combien augmente-t-elle en degrés Fahrenheit ? 3. Si la température diminue de 30°F, de combien diminue-t-elle en degrés centigrade ? ¯¯¯¯¯ Exercice 1 Galilée a découvert en 1 610 les quatre plus gros satellites de Jupiter. C'est cette découverte, entre autres, qui le conforta dans l'idée que la Terre n'était pas au centre de l'Univers. Pour cette raison on les appelle les satellites galiléens. Ils ont pour nom : Io, Europe, Ganymède et Callisto. Une sonde spatiale est envoyée en visite autour des satellites de Jupiter. Elle se déplace en orbite à 100 km de la surface de ces satellites. Satellite Io Europe Ganymède Callisto Diamètre en km 3 642 3 130 5 260 4 800 Calculer pour chaque satellite la longueur de l'équateur. Calculer la distance parcourue par la sonde en un tour autour de chaque satellite. Comparer, pour chaque satellite les deux résultats obtenus. Y a – t il un écart ou un rapport constant? Exercice 2 Montrer que tana n'est pas proportionnel à a . Exercice 3 x La forme est constituée d'un triangle équilatéral collé à un carré de côté x. Exprimer, en fonction de x, le périmètre P et l'aire A de cette figure. Y a – t il proportionnalité entre P et x? Y a – t il proportionnalité entre A et x? Applications affines Page 3 Cours de mathématiques Classe de troisième Fiche d'activité REPERES ET GRAPHIQUES Coordonnées des points Un repère orthonormé est constitué de deux axes gradués perpendiculaires. L’axe horizontal est l’axe des abscisses. L’axe vertical est l’axes des ordonnées. Chaque point M du plan est repéré par ses deux coordonnées, qui forment le couple de coordonnées de M : (x ; y) x est l’abscisse de M; c’est la graduation correspondant au projeté orthogonal de M sur l’axe horizontal. y est l’ordonnée de M; ; c’est la graduation correspondant au projeté orthogonal de M sur l’axe vertical. Par exemple, dans le repère ci-dessous sont placés les points A de coordonnées (-6 ; +4) et B de coordonnées (+3 ; +3). Le point C est à l’intersection des droites : - verticale passant par l’abscisse + 6, donc l’abscisse de C est + 6. - horizontale passant par l’ordonnée – 3, donc l’ordonnée de C est – 3. C a donc pour coordonnées (+6 ; -3). y (D) A E N + 4 B + 3 K 1 x + 3 - 6 O 1 H + 6 G - 3 F C (D') M 1. Déterminer, par lecture sur le repère ci-dessus, les coordonnées des points E : ( ; ) F : ( ; ) M : ( ; ) H : ( ; ) G : ( ; ) K:( ; )N:(;) 2. Tracer un repère et y placer les points : A:(+2;+6) B:(+1;-1) C:(-4;-2) D:(-3;+5) Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Page 4 Applications affines Cours de mathématiques Classe de troisième Fiche d'activité Représenter une relation Une relation associe deux grandeurs par un modèle de calcul répétitif. Les valeurs qui se correspondent forment des couples qui peuvent devenir les coordonnées de points que l’on va placer dans un repère. En prenant la valeur 3, 14 pour 3,14 p R : rayon 3 15 6 30 4 7 20 12 P:Périmètre du cercle 18,84 94,2 37,68 188,4 25,12 43,96 125,6 75,36 A : Aire du disque 28,26 706,5 113,04 2826 50,24 153,86 1256 452,16 On obtient pour chaque relation 8 couples de valeurs associées qui vont devenir les coordonnées de 8 points dans un repère. Pour le périmètre du cercle, on obtient les points : (on élimine les valeurs trop grandes pour la commodité du dessin). (3 ; 18,84) (4 ; 25,12) (6 ; 37,68) (7 ; 43,96) (12 ; 75,36) (15 ; 94,2) On choisit des graduations correctes sur chacun des deux axes (afin de permettre une lecture facile des points. y 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 3 4 6 7 12 15 Les points obtenus sont sur une droite issue de l’origine du repère. Applications affines Page 5 Cours de mathématiques Classe de troisième Fiche d'activité Pour l’aire du disque, on obtient les points : (on élimine les valeurs trop grandes pour la commodité du dessin). (3 ; 28,26) (4 ; 50,24) (6 ; 113,01) (7 ; 153,86) (12 ; 452,16) y 450 400 350 300 250 200 150 100 50 1 3 4 6 7 12 Les points obtenus ne sont pas sur une droite cette fois ; ils sont sur une courbe qui laisse apparaître que la relation n’est pas une application linéaire. Relations avec les coordonnées : Milieu d'un segment : I est le milieu de [AB] si ses coordonnées vérifient : x I = xA + xB et yI = yA + yB 2 2 Application : le parallélogramme. Pour que ABCD soit un parallélogramme, il suffit que [AC] et [BD] aient le même milieu. Il suffit donc que xA + xC = xB + xD, d'où : xA + xC = xB + xD 2 2 De même pour les ordonnées : yA + yC = yB + yD Longueur d'un segment : En application de la relation de Pythagore : AB = (yA - yB)² + (xA - xB)² Page 6 Applications affines Cours de mathématiques Fiche d'exercices EXEMPLES D'APPLICATIONS LINEAIRES Pourcentages Un pourcentage est un rapport exprimé d'une manière particulière; il s'agit de comparer une quantité à 100. Calculer un pourcentage : Pour exprimer simplement un pourcentage, il suffit de placer clairement le problème dans un tableau de proportionnalité à quatre nombres, dont l'un est 100. Par exemple : Sur 835 visiteurs d'un château en une journée, 144 sont des étrangers; ce qui représente un pourcentage p que l'on cherche. Nombre d'étrangers 144 p Donc : p = 14 4 ´ 100 » 17,25 % Nombre total de visiteurs 835 100 83 5 Appliquer un pourcentage Appliquer un pourcentage p % à une quantité, c'est multiplier cette quantité par p et diviser par 100. Expression décimale d'un pourcentage : uploads/s3/ fonction-ln.pdf